Trigonometri Contoh

$\sin (2 x) + \sqrt{2 \cos (x)} = 0$

Langkah 1

Kurangkan $\sin (2 x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\sqrt{2 \cos (x)} = - \sin (2 x)$

Langkah 2

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{2 \cos (x)}}^{2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Langkah 3

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2 \cos (x)}$ sebagai ${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Langkah 3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan ${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(2 \cos (x))}^{1} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Langkah 3.2.1.2

Sederhanakan.

$2 \cos (x) = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Langkah 3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan ${(- \sin (2 x))}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \sin (2 x)$ .

$2 \cos (x) = {(- 1)}^{2} \sin^{2} (2 x)$

Langkah 3.3.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$2 \cos (x) = 1 \sin^{2} (2 x)$

Langkah 3.3.1.3

Kalikan $\sin^{2} (2 x)$ dengan $1$ .

$2 \cos (x) = \sin^{2} (2 x)$

Langkah 4

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kurangkan $\sin^{2} (2 x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 \cos (x) - \sin^{2} (2 x) = 0$

Langkah 4.2

Ganti $\sin^{2} (2 x)$ dengan $1 - \cos^{2} (2 x)$ .

$2 \cos (x) - (1 - \cos^{2} (2 x)) = 0$

Langkah 4.3

Sederhanakan sisi kiri dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Terapkan identitas pythagoras.

$2 \cos (x) - \sin^{2} (2 x) = 0$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Terapkan identitas sudut ganda sinus.

$2 \cos (x) - {(2 \sin (x) \cos (x))}^{2} = 0$

Langkah 4.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) - ({(2 \sin (x))}^{2} \cos^{2} (x)) = 0$

Langkah 4.3.2.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \sin (x)$ .

$2 \cos (x) - (2^{2} \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) = 0$

Langkah 4.3.2.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$2 \cos (x) - (4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) = 0$

Langkah 4.3.2.4

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$2 \cos (x) - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) = 0$

Langkah 4.4

Faktorkan $2 \cos (x)$ dari $2 \cos (x) - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Faktorkan $2 \cos (x)$ dari $2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) = 0$

Langkah 4.4.2

Faktorkan $2 \cos (x)$ dari $- 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$

Langkah 4.4.3

Faktorkan $2 \cos (x)$ dari $2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x) \cos (x))$ .

$2 \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$

Langkah 4.5

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\cos (x) = 0$

$1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

Langkah 4.6

Atur $\cos (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Atur $\cos (x)$ sama dengan $0$ .

$\cos (x) = 0$

Langkah 4.6.2

Selesaikan $\cos (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.2.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (0)$

Langkah 4.6.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.2.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 4.6.2.3

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 4.6.2.4

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.2.4.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 4.6.2.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.2.4.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 4.6.2.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 4.6.2.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.2.4.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Langkah 4.6.2.4.3.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 4.6.2.5

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.2.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 4.6.2.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 4.6.2.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 4.6.2.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 4.6.2.6

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4.7

Atur $1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Atur $1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ sama dengan $0$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

Langkah 4.7.2

Selesaikan $1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.2.1

Ganti $\sin^{2} (x)$ dengan $1 - \cos^{2} (x)$ berdasarkan identitas $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$1 (1 - \cos^{2} (x)) \cos (x) = 0$

Langkah 4.7.2.2

Kalikan $1 - \cos^{2} (x)$ dengan $1$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) \cos (x) = 0$

Langkah 4.7.2.3

Terapkan sifat distributif.

$1 \cos (x) - \cos^{2} (x) \cos (x) = 0$

Langkah 4.7.2.4

Kalikan $\cos (x)$ dengan $1$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \cos (x) = 0$

Langkah 4.7.2.5

Kalikan $\cos^{2} (x)$ dengan $\cos (x)$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.2.5.1

Pindahkan $\cos (x)$ .

$\cos (x) - (\cos (x) \cos^{2} (x)) = 0$

Langkah 4.7.2.5.2

Kalikan $\cos (x)$ dengan $\cos^{2} (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.2.5.2.1

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\cos (x) - (\cos (x) \cos^{2} (x)) = 0$

Langkah 4.7.2.5.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 2} = 0$

Langkah 4.7.2.5.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\cos (x) - \cos^{3} (x) = 0$

Langkah 4.7.2.6

Susun ulang polinomial tersebut.

$- \cos^{3} (x) + \cos (x) = 0$

Langkah 4.7.2.7

Substitusikan $u$ untuk $\cos (x)$ .

$- {(u)}^{3} + u = 0$

Langkah 4.7.2.8

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.2.8.1

Faktorkan $- u$ dari $- u^{3} + u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.2.8.1.1

Faktorkan $- u$ dari $- u^{3}$ .

$- u \cdot u^{2} + u = 0$

Langkah 4.7.2.8.1.2

Tulis kembali $u$ sebagai $1 u$ .

$- u \cdot u^{2} + 1 u = 0$

Langkah 4.7.2.8.1.3

Faktorkan $- u$ dari $1 u$ .

$- u \cdot u^{2} - u \cdot - 1 = 0$

Langkah 4.7.2.8.1.4

Faktorkan $- u$ dari $- u \cdot u^{2} - u \cdot - 1$ .

$- u (u^{2} - 1) = 0$

Langkah 4.7.2.8.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$- u (u^{2} - 1^{2}) = 0$

Langkah 4.7.2.8.3

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.2.8.3.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = u$ dan $b = 1$ .

$- u ((u + 1) (u - 1)) = 0$

Langkah 4.7.2.8.3.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$- u (u + 1) (u - 1) = 0$

Langkah 4.7.2.9

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$u = 0$

$u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Langkah 4.7.2.10

Atur $u$ sama dengan $0$ .

$u = 0$

Langkah 4.7.2.11

Atur $u + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.2.11.1

Atur $u + 1$ sama dengan $0$ .

$u + 1 = 0$

Langkah 4.7.2.11.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$u = - 1$

Langkah 4.7.2.12

Atur $u - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.2.12.1

Atur $u - 1$ sama dengan $0$ .

$u - 1 = 0$

Langkah 4.7.2.12.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$u = 1$

Langkah 4.7.2.13

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- u (u + 1) (u - 1) = 0$ benar.

$u = 0, - 1, 1$

Langkah 4.7.2.14

Substitusikan $\cos (x)$ untuk $u$ .

$\cos (x) = 0, - 1, 1$

Langkah 4.7.2.15

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $x$ .

$\cos (x) = 0$

$\cos (x) = - 1$

$\cos (x) = 1$

Langkah 4.7.2.16

Selesaikan $x$ dalam $\cos (x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.2.16.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (0)$

Langkah 4.7.2.16.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.2.16.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 4.7.2.16.3

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 4.7.2.16.4

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.2.16.4.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 4.7.2.16.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.2.16.4.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 4.7.2.16.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 4.7.2.16.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.2.16.4.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Langkah 4.7.2.16.4.3.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 4.7.2.16.5

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.2.16.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 4.7.2.16.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 4.7.2.16.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 4.7.2.16.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 4.7.2.16.6

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4.7.2.17

Selesaikan $x$ dalam $\cos (x) = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.2.17.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (- 1)$

Langkah 4.7.2.17.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.2.17.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (- 1)$ adalah $π$ .

$x = π$

Langkah 4.7.2.17.3

Fungsi kosinus negatif di kuadran kedua dan ketiga. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menghitung penyelesaian di kuadran ketiga.

$x = 2 π - π$

Langkah 4.7.2.17.4

Kurangi $π$ dengan $2 π$ .

$x = π$

Langkah 4.7.2.17.5

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.2.17.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 4.7.2.17.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 4.7.2.17.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 4.7.2.17.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 4.7.2.17.6

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4.7.2.18

Selesaikan $x$ dalam $\cos (x) = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.2.18.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (1)$

Langkah 4.7.2.18.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.2.18.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (1)$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 4.7.2.18.3

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - 0$

Langkah 4.7.2.18.4

Kurangi $0$ dengan $2 π$ .

$x = 2 π$

Langkah 4.7.2.18.5

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.2.18.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 4.7.2.18.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 4.7.2.18.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 4.7.2.18.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 4.7.2.18.6

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4.7.2.19

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4.7.2.20

Gabungkan jawabannya.

$x = \frac{π n}{2}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4.8

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $2 \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$ benar.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π n}{2}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 5

Gabungkan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\frac{π}{2} + 2 π n$ dan $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ menjadi $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π n}{2}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 5.2

Gabungkan $\frac{π}{2} + π n$ dan $\frac{π n}{2}$ menjadi $\frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π n}{2}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 6

Periksa setiap penyelesaian dengan mensubstitusikannya ke dalam $\sin (2 x) + \sqrt{2 \cos (x)} = 0$ dan menyelesaikannya.

$x = 4.71238898, 10.99557428$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$