Trigonometri Contoh

$\sin (2 x) = \cos (3 x)$

Langkah 1

Kurangkan $\cos (3 x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\sin (2 x) - \cos (3 x) = 0$

Langkah 2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Terapkan identitas sudut ganda sinus.

$2 \sin (x) \cos (x) - \cos (3 x) = 0$

Langkah 2.2

Gunakan identitas sudut tiga untuk mengubah $\cos (3 x)$ menjadi $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) = 0$

Langkah 2.3

Terapkan sifat distributif.

$2 \sin (x) \cos (x) - (4 \cos^{3} (x)) - (- 3 \cos (x)) = 0$

Langkah 2.4

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos^{3} (x) - (- 3 \cos (x)) = 0$

Langkah 2.5

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x) = 0$

Langkah 3

Faktorkan $\cos (x)$ dari $2 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan $\cos (x)$ dari $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) - 4 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x) = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan $\cos (x)$ dari $- 4 \cos^{3} (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- 4 \cos^{2} (x)) + 3 \cos (x) = 0$

Langkah 3.3

Faktorkan $\cos (x)$ dari $3 \cos (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- 4 \cos^{2} (x)) + \cos (x) \cdot 3 = 0$

Langkah 3.4

Faktorkan $\cos (x)$ dari $\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- 4 \cos^{2} (x))$ .

$\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x)) + \cos (x) \cdot 3 = 0$

Langkah 3.5

Faktorkan $\cos (x)$ dari $\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x)) + \cos (x) \cdot 3$ .

$\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3) = 0$

Langkah 4

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\cos (x) = 0$

$2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$

Langkah 5

Atur $\cos (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur $\cos (x)$ sama dengan $0$ .

$\cos (x) = 0$

Langkah 5.2

Selesaikan $\cos (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (0)$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 5.2.3

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 5.2.4

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 5.2.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 5.2.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 5.2.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Langkah 5.2.4.3.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 5.2.5

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 5.2.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 5.2.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 5.2.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 5.2.6

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 6

Atur $2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur $2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3$ sama dengan $0$ .

$2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan $2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Ganti $- 4 \cos^{2} (x)$ dengan $- 4 (1 - \sin^{2} (x))$ berdasarkan identitas $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 \sin (x) - 4 (1 - \sin^{2} (x)) + 3 = 0$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$2 \sin (x) - 4 \cdot 1 - 4 (- \sin^{2} (x)) + 3 = 0$

Langkah 6.2.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$2 \sin (x) - 4 - 4 (- \sin^{2} (x)) + 3 = 0$

Langkah 6.2.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$2 \sin (x) - 4 + 4 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

Langkah 6.2.3

Tambahkan $- 4$ dan $3$ .

$2 \sin (x) + 4 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Langkah 6.2.4

Susun ulang polinomial tersebut.

$4 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 = 0$

Langkah 6.2.5

Substitusikan $u$ untuk $\sin (x)$ .

$4 {(u)}^{2} + 2 (u) - 1 = 0$

Langkah 6.2.6

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 6.2.7

Substitusikan nilai-nilai $a = 4$ , $b = 2$ , dan $c = - 1$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $u$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Langkah 6.2.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.8.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.8.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Langkah 6.2.8.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.8.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Langkah 6.2.8.1.2.2

Kalikan $- 16$ dengan $- 1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

Langkah 6.2.8.1.3

Tambahkan $4$ dan $16$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

Langkah 6.2.8.1.4

Tulis kembali $20$ sebagai $2^{2} \cdot 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.8.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $20$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

Langkah 6.2.8.1.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Langkah 6.2.8.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Langkah 6.2.8.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

Langkah 6.2.8.3

Sederhanakan $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Langkah 6.2.9

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$u = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

Langkah 6.2.10

Substitusikan $\sin (x)$ untuk $u$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

Langkah 6.2.11

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $x$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

Langkah 6.2.12

Selesaikan $x$ dalam $\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.12.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{4})$

Langkah 6.2.12.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.12.2.1

Evaluasi $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{4})$ .

$x = \frac{π}{10}$

Langkah 6.2.12.3

Fungsi sinus negatif pada kuadran ketiga dan keempat. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi penyelesaian dari $2 π$ , untuk mencari sudut acuan. Selanjutnya, tambahkan sudut acuan ini ke $π$ untuk mencari penyelesaian pada kuadran ketiga.

$x = 2 π - \frac{π}{10} + π$

Langkah 6.2.12.4

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.12.4.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 π - \frac{π}{10} + π$ .

$x = 2 π - \frac{π}{10} + π - 2 π$

Langkah 6.2.12.4.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{9 π}{10}$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 π - \frac{π}{10} + π$ .

$x = \frac{9 π}{10}$

Langkah 6.2.12.5

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.12.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 6.2.12.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 6.2.12.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 6.2.12.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 6.2.12.6

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 6.2.13

Selesaikan $x$ dalam $\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.13.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1 + \sqrt{5}}{4})$

Langkah 6.2.13.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.13.2.1

Evaluasi $\arcsin (- \frac{1 + \sqrt{5}}{4})$ .

$x = - \frac{3 π}{10}$

Langkah 6.2.13.3

$x = 2 π + \frac{3 π}{10} + π$

Langkah 6.2.13.4

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.13.4.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 π + \frac{3 π}{10} + π$ .

$x = 2 π + \frac{3 π}{10} + π - 2 π$

Langkah 6.2.13.4.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{13 π}{10}$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 π + \frac{3 π}{10} + π$ .

$x = \frac{13 π}{10}$

Langkah 6.2.13.5

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.13.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 6.2.13.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 6.2.13.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 6.2.13.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 6.2.13.6

Tambahkan $2 π$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.13.6.1

Tambahkan $2 π$ ke $- \frac{3 π}{10}$ untuk menentukan sudut positif.

$- \frac{3 π}{10} + 2 π$

Langkah 6.2.13.6.2

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{10}{10}$ .

$2 π \cdot \frac{10}{10} - \frac{3 π}{10}$

Langkah 6.2.13.6.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.13.6.3.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{10}{10}$ .

$\frac{2 π \cdot 10}{10} - \frac{3 π}{10}$

Langkah 6.2.13.6.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 π \cdot 10 - 3 π}{10}$

Langkah 6.2.13.6.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.13.6.4.1

Kalikan $10$ dengan $2$ .

$\frac{20 π - 3 π}{10}$

Langkah 6.2.13.6.4.2

Kurangi $3 π$ dengan $20 π$ .

$\frac{17 π}{10}$

Langkah 6.2.13.6.5

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$x = \frac{17 π}{10}$

Langkah 6.2.13.7

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 6.2.14

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$x = \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3) = 0$ benar.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 8

Gabungkan $\frac{π}{2} + 2 π n$ dan $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ menjadi $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$