Trigonometri Contoh

$\cos (2 x) + \cos (x) = 2$

Langkah 1

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\cos (2 x) + \cos (x) - 2 = 0$

Langkah 2

Sederhanakan sisi kiri dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan identitas sudut ganda untuk mengubah $\cos (2 x)$ menjadi $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + \cos (x) - 2 = 0$

Langkah 2.2

Kurangi $2$ dengan $- 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 3 + \cos (x) = 0$

Langkah 3

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Susun kembali suku-suku.

$2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 3 = 0$

Langkah 3.2

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ dan yang jumlahnya adalah $b = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$2 \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) - 3 = 0$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali $1$ sebagai $- 2$ ditambah $3$

$2 \cos^{2} (x) + (- 2 + 3) \cos (x) - 3 = 0$

Langkah 3.2.3

Terapkan sifat distributif.

$2 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) + 3 \cos (x) - 3 = 0$

Langkah 3.3

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$2 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) + 3 \cos (x) - 3 = 0$

Langkah 3.3.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$2 \cos (x) (\cos (x) - 1) + 3 (\cos (x) - 1) = 0$

Langkah 3.4

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $\cos (x) - 1$ .

$(\cos (x) - 1) (2 \cos (x) + 3) = 0$

Langkah 4

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

$2 \cos (x) + 3 = 0$

Langkah 5

Atur $\cos (x) - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur $\cos (x) - 1$ sama dengan $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Langkah 5.2

Selesaikan $\cos (x) - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$\cos (x) = 1$

Langkah 5.2.2

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (1)$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Nilai eksak dari $\arccos (1)$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 5.2.4

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - 0$

Langkah 5.2.5

Kurangi $0$ dengan $2 π$ .

$x = 2 π$

Langkah 5.2.6

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 5.2.6.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 5.2.6.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 5.2.6.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 5.2.7

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 6

Atur $2 \cos (x) + 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur $2 \cos (x) + 3$ sama dengan $0$ .

$2 \cos (x) + 3 = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan $2 \cos (x) + 3 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 \cos (x) = - 3$

Langkah 6.2.2

Bagi setiap suku pada $2 \cos (x) = - 3$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 \cos (x) = - 3$ dengan $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Langkah 6.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Langkah 6.2.2.2.1.2

Bagilah $\cos (x)$ dengan $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 3}{2}$

Langkah 6.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\cos (x) = - \frac{3}{2}$

Langkah 6.2.3

Jangkauan kosinusnya adalah $- 1 \leq y \leq 1$ . Karena $- \frac{3}{2}$ tidak berada pada jangkauan ini, maka tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(\cos (x) - 1) (2 \cos (x) + 3) = 0$ benar.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 8

Gabungkan jawabannya.

$x = 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$