Trigonometri Contoh

$6 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 = 0$

Langkah 1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = \sin (x)$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $\sin (x)$ .

$6 u^{2} - u - 2 = 0$

Langkah 1.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 6 \cdot - 2 = - 12$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Faktorkan $- 1$ dari $- u$ .

$6 u^{2} - (u) - 2 = 0$

Langkah 1.2.1.2

Tulis kembali $- 1$ sebagai $3$ ditambah $- 4$

$6 u^{2} + (3 - 4) u - 2 = 0$

Langkah 1.2.1.3

Terapkan sifat distributif.

$6 u^{2} + 3 u - 4 u - 2 = 0$

Langkah 1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(6 u^{2} + 3 u) - 4 u - 2 = 0$

Langkah 1.2.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$3 u (2 u + 1) - 2 (2 u + 1) = 0$

Langkah 1.2.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 u + 1$ .

$(2 u + 1) (3 u - 2) = 0$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sin (x)$ .

$(2 \sin (x) + 1) (3 \sin (x) - 2) = 0$

Langkah 2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 \sin (x) + 1 = 0$

$3 \sin (x) - 2 = 0$

Langkah 3

Atur $2 \sin (x) + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur $2 \sin (x) + 1$ sama dengan $0$ .

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Langkah 3.2

Selesaikan $2 \sin (x) + 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 \sin (x) = - 1$

Langkah 3.2.2

Bagi setiap suku pada $2 \sin (x) = - 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 \sin (x) = - 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 3.2.2.2.1.2

Bagilah $\sin (x)$ dengan $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Langkah 3.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Langkah 3.2.3

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Langkah 3.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Nilai eksak dari $\arcsin (- \frac{1}{2})$ adalah $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Langkah 3.2.5

Fungsi sinus negatif pada kuadran ketiga dan keempat. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi penyelesaian dari $2 π$ , untuk mencari sudut acuan. Selanjutnya, tambahkan sudut acuan ini ke $π$ untuk mencari penyelesaian pada kuadran ketiga.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Langkah 3.2.6

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Langkah 3.2.6.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{7 π}{6}$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Langkah 3.2.7

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 3.2.7.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 3.2.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 3.2.7.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 3.2.8

Tambahkan $2 π$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.1

Tambahkan $2 π$ ke $- \frac{π}{6}$ untuk menentukan sudut positif.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Langkah 3.2.8.2

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 3.2.8.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.3.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 3.2.8.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Langkah 3.2.8.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.4.1

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Langkah 3.2.8.4.2

Kurangi $π$ dengan $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Langkah 3.2.8.5

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$x = \frac{11 π}{6}$

Langkah 3.2.9

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4

Atur $3 \sin (x) - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur $3 \sin (x) - 2$ sama dengan $0$ .

$3 \sin (x) - 2 = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $3 \sin (x) - 2 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$3 \sin (x) = 2$

Langkah 4.2.2

Bagi setiap suku pada $3 \sin (x) = 2$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Bagilah setiap suku di $3 \sin (x) = 2$ dengan $3$ .

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{2}{3}$

Langkah 4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{2}{3}$

Langkah 4.2.2.2.1.2

Bagilah $\sin (x)$ dengan $1$ .

$\sin (x) = \frac{2}{3}$

Langkah 4.2.3

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (\frac{2}{3})$

Langkah 4.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.1

Evaluasi $\arcsin (\frac{2}{3})$ .

$x = 0.72972765$

Langkah 4.2.5

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = (3.14159265) - 0.72972765$

Langkah 4.2.6

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.1

Hilangkan tanda kurung.

$x = 3.14159265 - 0.72972765$

Langkah 4.2.6.2

Hilangkan tanda kurung.

$x = (3.14159265) - 0.72972765$

Langkah 4.2.6.3

Kurangi $0.72972765$ dengan $3.14159265$ .

$x = 2.41186499$

Langkah 4.2.7

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 4.2.7.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 4.2.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 4.2.7.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 4.2.8

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = 0.72972765 + 2 π n, 2.41186499 + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(2 \sin (x) + 1) (3 \sin (x) - 2) = 0$ benar.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, 0.72972765 + 2 π n, 2.41186499 + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$