Trigonometri Contoh

$5 \sin (3 x) + 6 \cos (3 x) = 1$

Langkah 1

Gunakan identitas untuk menyelesaikan persamaan. Dalam identitas ini, $θ$ mewakili sudut yang dibuat dengan menggambar titik $(a, b)$ pada grafik dan oleh karena itu dapat ditemukan menggunakan $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ di mana $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dan $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Langkah 2

Buat persamaannya untuk mencari nilai dari $θ$ .

$\tan^{-1} (\frac{6}{5})$

Langkah 3

Evaluasi $\tan^{-1} (\frac{6}{5})$ .

$θ = 0.87605805$

Langkah 4

Selesaikan untuk menemukan nilai dari $R$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$R = \sqrt{25 + {(6)}^{2}}$

Langkah 4.2

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$R = \sqrt{25 + 36}$

Langkah 4.3

Tambahkan $25$ dan $36$ .

$R = \sqrt{61}$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam persamaannya.

$(\sqrt{61}) \sin (3 x + 0.87605805) = 1$

Langkah 6

Bagi setiap suku pada $\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805) = 1$ dengan $\sqrt{61}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagilah setiap suku di $\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805) = 1$ dengan $\sqrt{61}$ .

$\frac{\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805)}{\sqrt{61}} = \frac{1}{\sqrt{61}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\sqrt{61}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805)}{\sqrt{61}} = \frac{1}{\sqrt{61}}$

Langkah 6.2.1.2

Bagilah $\sin (3 x + 0.87605805)$ dengan $1$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{1}{\sqrt{61}}$

Langkah 6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{61}}$ dengan $\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{1}{\sqrt{61}} \cdot \frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$

Langkah 6.3.2

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{61}}$ dengan $\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61} \sqrt{61}}$

Langkah 6.3.2.2

Naikkan $\sqrt{61}$ menjadi pangkat $1$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1} \sqrt{61}}$

Langkah 6.3.2.3

Naikkan $\sqrt{61}$ menjadi pangkat $1$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1} {\sqrt{61}}^{1}}$

Langkah 6.3.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1 + 1}}$

Langkah 6.3.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{2}}$

Langkah 6.3.2.6

Tulis kembali ${\sqrt{61}}^{2}$ sebagai $61$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{61}$ sebagai $61^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{(61^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 6.3.2.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 6.3.2.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 6.3.2.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 6.3.2.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{1}}$

Langkah 6.3.2.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61}$

Langkah 7

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$3 x + 0.87605805 = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{61}}{61})$

Langkah 8

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Evaluasi $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{61}}{61})$ .

$3 x + 0.87605805 = 0.12838931$

Langkah 9

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kurangkan $0.87605805$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 x = 0.12838931 - 0.87605805$

Langkah 9.2

Kurangi $0.87605805$ dengan $0.12838931$ .

$3 x = - 0.74766873$

Langkah 10

Bagi setiap suku pada $3 x = - 0.74766873$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Bagilah setiap suku di $3 x = - 0.74766873$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 0.74766873}{3}$

Langkah 10.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 0.74766873}{3}$

Langkah 10.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 0.74766873}{3}$

Langkah 10.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Bagilah $- 0.74766873$ dengan $3$ .

$x = - 0.24922291$

Langkah 11

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$3 x + 0.87605805 = (3.14159265) - 0.12838931$

Langkah 12

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Kurangi $0.12838931$ dengan $3.14159265$ .

$3 x + 0.87605805 = 3.01320333$

Langkah 12.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Kurangkan $0.87605805$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 x = 3.01320333 - 0.87605805$

Langkah 12.2.2

Kurangi $0.87605805$ dengan $3.01320333$ .

$3 x = 2.13714528$

Langkah 12.3

Bagi setiap suku pada $3 x = 2.13714528$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Bagilah setiap suku di $3 x = 2.13714528$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2.13714528}{3}$

Langkah 12.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2.13714528}{3}$

Langkah 12.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{2.13714528}{3}$

Langkah 12.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.3.1

Bagilah $2.13714528$ dengan $3$ .

$x = 0.71238176$

Langkah 13

Tentukan periode dari $\sin (3 x + 0.87605805)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 13.2

Ganti $b$ dengan $3$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Langkah 13.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $3$ adalah $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Langkah 14

Tambahkan $\frac{2 π}{3}$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Tambahkan $\frac{2 π}{3}$ ke $- 0.24922291$ untuk menentukan sudut positif.

$- 0.24922291 + \frac{2 π}{3}$

Langkah 14.2

Kurangi $0.24922291$ dengan $\frac{2 π}{3}$ .

$1.84517219$

Langkah 14.3

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$x = 1.84517219$

Langkah 15

Periode dari fungsi $\sin (3 x + 0.87605805)$ adalah $\frac{2 π}{3}$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $\frac{2 π}{3}$ radian di kedua arah.

$x = 0.71238176 + \frac{2 π n}{3}, 1.84517219 + \frac{2 π n}{3}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$