Trigonometri Contoh

$8 \sin^{2} (x) - 4 \sin (x) = 2$

Langkah 1

Substitusikan $u$ untuk $\sin (x)$ .

$8 {(u)}^{2} - 4 u = 2$

Langkah 2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$8 u^{2} - 4 u - 2 = 0$

Langkah 3

Faktorkan $2$ dari $8 u^{2} - 4 u - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan $2$ dari $8 u^{2}$ .

$2 (4 u^{2}) - 4 u - 2 = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan $2$ dari $- 4 u$ .

$2 (4 u^{2}) + 2 (- 2 u) - 2 = 0$

Langkah 3.3

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$2 (4 u^{2}) + 2 (- 2 u) + 2 (- 1) = 0$

Langkah 3.4

Faktorkan $2$ dari $2 (4 u^{2}) + 2 (- 2 u)$ .

$2 (4 u^{2} - 2 u) + 2 (- 1) = 0$

Langkah 3.5

Faktorkan $2$ dari $2 (4 u^{2} - 2 u) + 2 (- 1)$ .

$2 (4 u^{2} - 2 u - 1) = 0$

Langkah 4

Bagi setiap suku pada $2 (4 u^{2} - 2 u - 1) = 0$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Bagilah setiap suku di $2 (4 u^{2} - 2 u - 1) = 0$ dengan $2$ .

$\frac{2 (4 u^{2} - 2 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (4 u^{2} - 2 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 4.2.1.2

Bagilah $4 u^{2} - 2 u - 1$ dengan $1$ .

$4 u^{2} - 2 u - 1 = \frac{0}{2}$

Langkah 4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$4 u^{2} - 2 u - 1 = 0$

Langkah 5

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 6

Substitusikan nilai-nilai $a = 4$ , $b = - 2$ , dan $c = - 1$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $u$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Langkah 7.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Langkah 7.1.2.2

Kalikan $- 16$ dengan $- 1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

Langkah 7.1.3

Tambahkan $4$ dan $16$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

Langkah 7.1.4

Tulis kembali $20$ sebagai $2^{2} \cdot 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $20$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

Langkah 7.1.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Langkah 7.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Langkah 7.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

Langkah 7.3

Sederhanakan $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Langkah 8

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$u = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Langkah 9

Substitusikan $\sin (x)$ untuk $u$ .

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Langkah 10

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $x$ .

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

$\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Langkah 11

Selesaikan $x$ dalam $\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (\frac{1 + \sqrt{5}}{4})$

Langkah 11.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Evaluasi $\arcsin (\frac{1 + \sqrt{5}}{4})$ .

$x = \frac{3 π}{10}$

Langkah 11.3

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - \frac{3 π}{10}$

Langkah 11.4

Sederhanakan $π - \frac{3 π}{10}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{10}{10}$ .

$x = π \cdot \frac{10}{10} - \frac{3 π}{10}$

Langkah 11.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{10}{10}$ .

$x = \frac{π \cdot 10}{10} - \frac{3 π}{10}$

Langkah 11.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{π \cdot 10 - 3 π}{10}$

Langkah 11.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.3.1

Pindahkan $10$ ke sebelah kiri $π$ .

$x = \frac{10 \cdot π - 3 π}{10}$

Langkah 11.4.3.2

Kurangi $3 π$ dengan $10 π$ .

$x = \frac{7 π}{10}$

Langkah 11.5

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 11.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 11.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 11.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 11.6

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{3 π}{10} + 2 π n, \frac{7 π}{10} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 12

Selesaikan $x$ dalam $\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{4})$

Langkah 12.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Evaluasi $\arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{4})$ .

$x = - \frac{π}{10}$

Langkah 12.3

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π + \frac{π}{10}$

Langkah 12.4

Sederhanakan $π + \frac{π}{10}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{10}{10}$ .

$x = π \cdot \frac{10}{10} + \frac{π}{10}$

Langkah 12.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{10}{10}$ .

$x = \frac{π \cdot 10}{10} + \frac{π}{10}$

Langkah 12.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{π \cdot 10 + π}{10}$

Langkah 12.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.3.1

Pindahkan $10$ ke sebelah kiri $π$ .

$x = \frac{10 \cdot π + π}{10}$

Langkah 12.4.3.2

Tambahkan $10 π$ dan $π$ .

$x = \frac{11 π}{10}$

Langkah 12.5

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 12.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 12.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 12.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 12.6

Tambahkan $2 π$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.6.1

Tambahkan $2 π$ ke $- \frac{π}{10}$ untuk menentukan sudut positif.

$- \frac{π}{10} + 2 π$

Langkah 12.6.2

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{10}{10}$ .

$2 π \cdot \frac{10}{10} - \frac{π}{10}$

Langkah 12.6.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.6.3.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{10}{10}$ .

$\frac{2 π \cdot 10}{10} - \frac{π}{10}$

Langkah 12.6.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 π \cdot 10 - π}{10}$

Langkah 12.6.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.6.4.1

Kalikan $10$ dengan $2$ .

$\frac{20 π - π}{10}$

Langkah 12.6.4.2

Kurangi $π$ dengan $20 π$ .

$\frac{19 π}{10}$

Langkah 12.6.5

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$x = \frac{19 π}{10}$

Langkah 12.7

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{11 π}{10} + 2 π n, \frac{19 π}{10} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 13

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$x = \frac{3 π}{10} + 2 π n, \frac{7 π}{10} + 2 π n, \frac{11 π}{10} + 2 π n, \frac{19 π}{10} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$