Trigonometri Contoh

$8 \sin^{2} (\frac{x}{2}) - 10 \sin (\frac{x}{2}) + 3 = 0$

Langkah 1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = \sin (\frac{x}{2})$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $\sin (\frac{x}{2})$ .

$8 u^{2} - 10 u + 3 = 0$

Langkah 1.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 8 \cdot 3 = 24$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Faktorkan $- 10$ dari $- 10 u$ .

$8 u^{2} - 10 u + 3 = 0$

Langkah 1.2.1.2

Tulis kembali $- 10$ sebagai $- 4$ ditambah $- 6$

$8 u^{2} + (- 4 - 6) u + 3 = 0$

Langkah 1.2.1.3

Terapkan sifat distributif.

$8 u^{2} - 4 u - 6 u + 3 = 0$

Langkah 1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(8 u^{2} - 4 u) - 6 u + 3 = 0$

Langkah 1.2.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$4 u (2 u - 1) - 3 (2 u - 1) = 0$

Langkah 1.2.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (4 u - 3) = 0$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sin (\frac{x}{2})$ .

$(2 \sin (\frac{x}{2}) - 1) (4 \sin (\frac{x}{2}) - 3) = 0$

Langkah 2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$

$4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$

Langkah 3

Atur $2 \sin (\frac{x}{2}) - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur $2 \sin (\frac{x}{2}) - 1$ sama dengan $0$ .

$2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$

Langkah 3.2

Selesaikan $2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$

Langkah 3.2.2

Bagi setiap suku pada $2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 3.2.2.2.1.2

Bagilah $\sin (\frac{x}{2})$ dengan $1$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$

Langkah 3.2.3

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$\frac{x}{2} = \arcsin (\frac{1}{2})$

Langkah 3.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Nilai eksak dari $\arcsin (\frac{1}{2})$ adalah $\frac{π}{6}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{6}$

Langkah 3.2.5

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{6}$

Langkah 3.2.6

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{6}$

Langkah 3.2.6.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = 2 \frac{π}{6}$

Langkah 3.2.6.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$x = 2 \frac{π}{2 (3)}$

Langkah 3.2.6.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.2.6.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{π}{3}$

Langkah 3.2.7

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{6}$

Langkah 3.2.8

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{6})$

Langkah 3.2.8.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{6})$

Langkah 3.2.8.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = 2 (π - \frac{π}{6})$

Langkah 3.2.8.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.2.2.1

Sederhanakan $2 (π - \frac{π}{6})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.2.2.1.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 (π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6})$

Langkah 3.2.8.2.2.1.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.2.2.1.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 (\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6})$

Langkah 3.2.8.2.2.1.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Langkah 3.2.8.2.2.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.2.2.1.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{2 (3)}$

Langkah 3.2.8.2.2.1.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.2.8.2.2.1.2.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{3}$

Langkah 3.2.8.2.2.1.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.2.2.1.3.1

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{3}$

Langkah 3.2.8.2.2.1.3.2

Kurangi $π$ dengan $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Langkah 3.2.9

Tentukan periode dari $\sin (\frac{x}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.9.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 3.2.9.2

Ganti $b$ dengan $\frac{1}{2}$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Langkah 3.2.9.3

$\frac{1}{2}$ mendekati $0.5$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Langkah 3.2.9.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$2 π \cdot 2$

Langkah 3.2.9.5

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 π$

Langkah 3.2.10

Periode dari fungsi $\sin (\frac{x}{2})$ adalah $4 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $4 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{3} + 4 π n, \frac{5 π}{3} + 4 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4

Atur $4 \sin (\frac{x}{2}) - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur $4 \sin (\frac{x}{2}) - 3$ sama dengan $0$ .

$4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$

Langkah 4.2.2

Bagi setiap suku pada $4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Bagilah setiap suku di $4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$ dengan $4$ .

$\frac{4 \sin (\frac{x}{2})}{4} = \frac{3}{4}$

Langkah 4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \sin (\frac{x}{2})}{4} = \frac{3}{4}$

Langkah 4.2.2.2.1.2

Bagilah $\sin (\frac{x}{2})$ dengan $1$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{3}{4}$

Langkah 4.2.3

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$\frac{x}{2} = \arcsin (\frac{3}{4})$

Langkah 4.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.1

Evaluasi $\arcsin (\frac{3}{4})$ .

$\frac{x}{2} = 0.84806207$

Langkah 4.2.5

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 0.84806207$

Langkah 4.2.6

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 0.84806207$

Langkah 4.2.6.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = 2 \cdot 0.84806207$

Langkah 4.2.6.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.2.1

Kalikan $2$ dengan $0.84806207$ .

$x = 1.69612415$

Langkah 4.2.7

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$\frac{x}{2} = (3.14159265) - 0.84806207$

Langkah 4.2.8

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.8.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

Langkah 4.2.8.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.8.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.8.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{x}{2} = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

Langkah 4.2.8.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

Langkah 4.2.8.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.8.2.2.1

Sederhanakan $2 ((3.14159265) - 0.84806207)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.8.2.2.1.1

Kurangi $0.84806207$ dengan $3.14159265$ .

$x = 2 \cdot 2.29353057$

Langkah 4.2.8.2.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $2.29353057$ .

$x = 4.58706114$

Langkah 4.2.9

Tentukan periode dari $\sin (\frac{x}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.9.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 4.2.9.2

Ganti $b$ dengan $\frac{1}{2}$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Langkah 4.2.9.3

$\frac{1}{2}$ mendekati $0.5$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Langkah 4.2.9.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$2 π \cdot 2$

Langkah 4.2.9.5

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 π$

Langkah 4.2.10

Periode dari fungsi $\sin (\frac{x}{2})$ adalah $4 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $4 π$ radian di kedua arah.

$x = 1.69612415 + 4 π n, 4.58706114 + 4 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(2 \sin (\frac{x}{2}) - 1) (4 \sin (\frac{x}{2}) - 3) = 0$ benar.

$x = \frac{π}{3} + 4 π n, \frac{5 π}{3} + 4 π n, 1.69612415 + 4 π n, 4.58706114 + 4 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$