Trigonometri Contoh

$8 \cos^{2} (2 x) + 7 \cos (2 x) - 1 = 0$

Langkah 1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = \cos (2 x)$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $\cos (2 x)$ .

$8 u^{2} + 7 u - 1 = 0$

Langkah 1.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 8 \cdot - 1 = - 8$ dan yang jumlahnya adalah $b = 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Faktorkan $7$ dari $7 u$ .

$8 u^{2} + 7 (u) - 1 = 0$

Langkah 1.2.1.2

Tulis kembali $7$ sebagai $- 1$ ditambah $8$

$8 u^{2} + (- 1 + 8) u - 1 = 0$

Langkah 1.2.1.3

Terapkan sifat distributif.

$8 u^{2} - 1 u + 8 u - 1 = 0$

Langkah 1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(8 u^{2} - 1 u) + 8 u - 1 = 0$

Langkah 1.2.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$u (8 u - 1) + 1 (8 u - 1) = 0$

Langkah 1.2.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $8 u - 1$ .

$(8 u - 1) (u + 1) = 0$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (2 x)$ .

$(8 \cos (2 x) - 1) (\cos (2 x) + 1) = 0$

Langkah 2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$8 \cos (2 x) - 1 = 0$

$\cos (2 x) + 1 = 0$

Langkah 3

Atur $8 \cos (2 x) - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur $8 \cos (2 x) - 1$ sama dengan $0$ .

$8 \cos (2 x) - 1 = 0$

Langkah 3.2

Selesaikan $8 \cos (2 x) - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$8 \cos (2 x) = 1$

Langkah 3.2.2

Bagi setiap suku pada $8 \cos (2 x) = 1$ dengan $8$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $8 \cos (2 x) = 1$ dengan $8$ .

$\frac{8 \cos (2 x)}{8} = \frac{1}{8}$

Langkah 3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{8 \cos (2 x)}{8} = \frac{1}{8}$

Langkah 3.2.2.2.1.2

Bagilah $\cos (2 x)$ dengan $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{1}{8}$

Langkah 3.2.3

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$2 x = \arccos (\frac{1}{8})$

Langkah 3.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Evaluasi $\arccos (\frac{1}{8})$ .

$2 x = 1.44546849$

Langkah 3.2.5

Bagi setiap suku pada $2 x = 1.44546849$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 1.44546849$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1.44546849}{2}$

Langkah 3.2.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1.44546849}{2}$

Langkah 3.2.5.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{1.44546849}{2}$

Langkah 3.2.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.3.1

Bagilah $1.44546849$ dengan $2$ .

$x = 0.72273424$

Langkah 3.2.6

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$2 x = 2 (3.14159265) - 1.44546849$

Langkah 3.2.7

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.1.1

Kalikan $2$ dengan $3.14159265$ .

$2 x = 6.2831853 - 1.44546849$

Langkah 3.2.7.1.2

Kurangi $1.44546849$ dengan $6.2831853$ .

$2 x = 4.83771681$

Langkah 3.2.7.2

Bagi setiap suku pada $2 x = 4.83771681$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 4.83771681$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{4.83771681}{2}$

Langkah 3.2.7.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{4.83771681}{2}$

Langkah 3.2.7.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{4.83771681}{2}$

Langkah 3.2.7.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.2.3.1

Bagilah $4.83771681$ dengan $2$ .

$x = 2.4188584$

Langkah 3.2.8

Tentukan periode dari $\cos (2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 3.2.8.2

Ganti $b$ dengan $2$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Langkah 3.2.8.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $2$ adalah $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Langkah 3.2.8.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 π}{2}$

Langkah 3.2.8.4.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 3.2.9

Periode dari fungsi $\cos (2 x)$ adalah $π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $π$ radian di kedua arah.

$x = 0.72273424 + π n, 2.4188584 + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4

Atur $\cos (2 x) + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur $\cos (2 x) + 1$ sama dengan $0$ .

$\cos (2 x) + 1 = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $\cos (2 x) + 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\cos (2 x) = - 1$

Langkah 4.2.2

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$2 x = \arccos (- 1)$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Nilai eksak dari $\arccos (- 1)$ adalah $π$ .

$2 x = π$

Langkah 4.2.4

Bagi setiap suku pada $2 x = π$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.1

Bagilah setiap suku di $2 x = π$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Langkah 4.2.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Langkah 4.2.4.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 4.2.5

Fungsi kosinus negatif di kuadran kedua dan ketiga. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menghitung penyelesaian di kuadran ketiga.

$2 x = 2 π - π$

Langkah 4.2.6

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.1

Kurangi $π$ dengan $2 π$ .

$2 x = π$

Langkah 4.2.6.2

Bagi setiap suku pada $2 x = π$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = π$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Langkah 4.2.6.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Langkah 4.2.6.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 4.2.7

Tentukan periode dari $\cos (2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 4.2.7.2

Ganti $b$ dengan $2$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Langkah 4.2.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $2$ adalah $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Langkah 4.2.7.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.7.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 π}{2}$

Langkah 4.2.7.4.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 4.2.8

Periode dari fungsi $\cos (2 x)$ adalah $π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(8 \cos (2 x) - 1) (\cos (2 x) + 1) = 0$ benar.

$x = 0.72273424 + π n, 2.4188584 + π n, \frac{π}{2} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$