Trigonometri Contoh

$\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$

Langkah 1

Saling tukar variabel.

$x = \frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)}$

Langkah 2

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} = x$ .

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} = x$

Langkah 2.2

Kalikan kedua ruas dengan $1 + \cot (y)$ .

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y)) = x (1 + \cot (y))$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Sederhanakan $\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + \cot (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y)) = x (1 + \cot (y))$

Langkah 2.3.1.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 - \cot (- y) = x (1 + \cot (y))$

Langkah 2.3.1.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.2.1

Karena $\cot (- y)$ adalah sebuah fungsi ganjil, tulis kembali $\cot (- y)$ sebagai $- \cot (y)$ .

$1 - - \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

Langkah 2.3.1.1.2.2

Kalikan $- - \cot (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.2.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 + 1 \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

Langkah 2.3.1.1.2.2.2

Kalikan $\cot (y)$ dengan $1$ .

$1 + \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Sederhanakan $x (1 + \cot (y))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$1 + \cot (y) = x \cdot 1 + x \cot (y)$

Langkah 2.3.2.1.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$1 + \cot (y) = x + x \cot (y)$

Langkah 2.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Substitusikan $u$ untuk $\cot (y)$ .

$1 + u = x + x (u)$

Langkah 2.4.2

Kurangkan $x u$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$1 + u - x u = x$

Langkah 2.4.3

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$u - x u = x - 1$

Langkah 2.4.4

Faktorkan $u$ dari $u - x u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.4.1

Faktorkan $u$ dari $u^{1}$ .

$u \cdot 1 - x u = x - 1$

Langkah 2.4.4.2

Faktorkan $u$ dari $- x u$ .

$u \cdot 1 + u (- x) = x - 1$

Langkah 2.4.4.3

Faktorkan $u$ dari $u \cdot 1 + u (- x)$ .

$u (1 - x) = x - 1$

Langkah 2.4.5

Bagi setiap suku pada $u (1 - x) = x - 1$ dengan $1 - x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.5.1

Bagilah setiap suku di $u (1 - x) = x - 1$ dengan $1 - x$ .

$\frac{u (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Langkah 2.4.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{u (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Langkah 2.4.5.2.1.2

Bagilah $u$ dengan $1$ .

$u = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

Langkah 2.4.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.5.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$u = \frac{x - 1}{1 - x}$

Langkah 2.4.5.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $x - 1$ dan $1 - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.5.3.2.1

Faktorkan $- 1$ dari $x$ .

$u = \frac{- 1 (- x) - 1}{1 - x}$

Langkah 2.4.5.3.2.2

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$u = \frac{- 1 (- x) - 1 (1)}{1 - x}$

Langkah 2.4.5.3.2.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (- x) - 1 (1)$ .

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{1 - x}$

Langkah 2.4.5.3.2.4

Susun kembali suku-suku.

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

Langkah 2.4.5.3.2.5

Batalkan faktor persekutuan.

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

Langkah 2.4.5.3.2.6

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$u = - 1$

Langkah 2.4.6

Substitusikan $\cot (y)$ untuk $u$ .

$\cot (y) = - 1$

Langkah 2.4.7

Ambil kotangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $y$ dari dalam kotangen.

$y = arccot (- 1)$

Langkah 2.4.8

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.8.1

Nilai eksak dari $arccot (- 1)$ adalah $\frac{3 π}{4}$ .

$y = \frac{3 π}{4}$

Langkah 2.4.9

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$y = \frac{3 π}{4} - π$

Langkah 2.4.10

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.10.1

Tambahkan $2 π$ ke $\frac{3 π}{4} - π$ .

$y = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Langkah 2.4.10.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{7 π}{4}$ positif dan koterminal dengan $\frac{3 π}{4} - π$ .

$y = \frac{7 π}{4}$

Langkah 2.4.11

Tentukan periode dari $\cot (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.11.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Langkah 2.4.11.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Langkah 2.4.11.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{π}{1}$

Langkah 2.4.11.4

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 2.4.12

Periode dari fungsi $\cot (y)$ adalah $π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $π$ radian di kedua arah.

$y = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2.5

Gabungkan jawabannya.

$y = \frac{3 π}{4} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$

Langkah 4

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$ merupakan balikan dari $f (x) = \frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk memverifikasi balikannya, periksa apakah $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Langkah 4.2

Evaluasi $f^{- 1} (f (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f^{- 1} (f (x))$

Langkah 4.2.2

Evaluasi $f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}) = \frac{3 π}{4} + π n$

Langkah 4.2.3

Susun kembali $\frac{3 π}{4}$ dan $π n$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}) = π n + \frac{3 π}{4}$

Langkah 4.3

Evaluasi $f (f^{- 1} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f (f^{- 1} (x))$

Langkah 4.3.2

Evaluasi $f (\frac{3 π}{4} + π n)$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f (\frac{3 π}{4} + π n) = \frac{1 - \cot (- (\frac{3 π}{4} + π n))}{1 + \cot (\frac{3 π}{4} + π n)}$

Langkah 4.3.3

Terapkan sifat distributif.

$f (\frac{3 π}{4} + π n) = \frac{1 - \cot (- \frac{3 π}{4} - π n)}{1 + \cot (\frac{3 π}{4} + π n)}$

Langkah 4.4

Karena $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ , maka $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$ merupakan balikan dari $f (x) = \frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$