Trigonometri Contoh

$1 - \sec^{2} (x)$

Langkah 1

Saling tukar variabel.

$x = 1 - \sec^{2} (y)$

Langkah 2

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $1 - \sec^{2} (y) = x$ .

$1 - \sec^{2} (y) = x$

Langkah 2.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \sec^{2} (y) = x - 1$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $- \sec^{2} (y) = x - 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di $- \sec^{2} (y) = x - 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \sec^{2} (y)}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\sec^{2} (y)}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 2.3.2.2

Bagilah $\sec^{2} (y)$ dengan $1$ .

$\sec^{2} (y) = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{x}{- 1}$ .

$\sec^{2} (y) = - 1 \cdot x + \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 2.3.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot x$ sebagai $- x$ .

$\sec^{2} (y) = - x + \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 2.3.3.1.3

Bagilah $- 1$ dengan $- 1$ .

$\sec^{2} (y) = - x + 1$

Langkah 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (y) = \pm \sqrt{- x + 1}$

Langkah 2.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$\sec (y) = \sqrt{- x + 1}$

Langkah 2.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$\sec (y) = - \sqrt{- x + 1}$

Langkah 2.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$\sec (y) = \sqrt{- x + 1}, - \sqrt{- x + 1}$

Langkah 2.6

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $y$ .

$\sec (y) = \sqrt{- x + 1}$

$\sec (y) = - \sqrt{- x + 1}$

Langkah 2.7

Selesaikan $y$ dalam $\sec (y) = \sqrt{- x + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Ambil sekan balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $y$ dari dalam sekan.

$y = arcsec (\sqrt{- x + 1})$

Langkah 2.8

Selesaikan $y$ dalam $\sec (y) = - \sqrt{- x + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Ambil sekan balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $y$ dari dalam sekan.

$y = arcsec (- \sqrt{- x + 1})$

Langkah 2.9

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$y = arcsec (\sqrt{- x + 1})$

$y = arcsec (- \sqrt{- x + 1})$

$y = arcsec (\sqrt{- x + 1})$

$y = arcsec (- \sqrt{- x + 1})$

Langkah 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{- x + 1}), arcsec (- \sqrt{- x + 1})$

Langkah 4

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{- x + 1}), arcsec (- \sqrt{- x + 1})$ merupakan balikan dari $f (x) = 1 - \sec^{2} (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Domain dari balikan adalah daerah hasil dari fungsi asal dan sebaliknya. Tentukan domain dan daerah hasil dari $f (x) = 1 - \sec^{2} (x)$ dan $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{- x + 1}), arcsec (- \sqrt{- x + 1})$ dan bandingkan.

Langkah 4.2

Tentukan daerah hasil dari $f (x) = 1 - \sec^{2} (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Jangkauannya adalah himpunan dari semua nilai $y$ yang valid. Gunakan grafik untuk mencari intervalnya.

Notasi Interval:

$[2, \infty)$

Langkah 4.3

Tentukan domain dari $arcsec (\sqrt{- x + 1})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{- x + 1}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$- x + 1 \geq 0$

Langkah 4.3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Kurangkan $1$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$- x \geq - 1$

Langkah 4.3.2.2

Bagi setiap suku pada $- x \geq - 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Bagi setiap suku dalam $- x \geq - 1$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 4.3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 4.3.2.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 4.3.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.3.1

Bagilah $- 1$ dengan $- 1$ .

$x \leq 1$

Langkah 4.3.3

Atur argumen dalam $arcsec (\sqrt{- x + 1})$ agar lebih kecil dari atau sama dengan $- 1$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$\sqrt{- x + 1} \leq - 1$

Langkah 4.3.4

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Untuk menghapus akar pada sisi kiri pertidaksamaan, kuadratkan kedua sisi pertidaksamaan.

${\sqrt{- x + 1}}^{2} \leq {(- 1)}^{2}$

Langkah 4.3.4.2

Sederhanakan masing-masing sisi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{- x + 1}$ sebagai ${(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(- 1)}^{2}$

Langkah 4.3.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.2.2.1

Sederhanakan ${({(- x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.2.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(- x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.2.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 1)}^{2}$

Langkah 4.3.4.2.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.2.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(- x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 1)}^{2}$

Langkah 4.3.4.2.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(- x + 1)}^{1} \leq {(- 1)}^{2}$

Langkah 4.3.4.2.2.1.2

Sederhanakan.

$- x + 1 \leq {(- 1)}^{2}$

Langkah 4.3.4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.2.3.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$- x + 1 \leq 1$

Langkah 4.3.4.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.3.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.3.1.1

Kurangkan $1$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$- x \leq 1 - 1$

Langkah 4.3.4.3.1.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$- x \leq 0$

Langkah 4.3.4.3.2

Bagi setiap suku pada $- x \leq 0$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.3.2.1

Bagi setiap suku dalam $- x \leq 0$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

Langkah 4.3.4.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.3.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

Langkah 4.3.4.3.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x \geq \frac{0}{- 1}$

Langkah 4.3.4.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.3.2.3.1

Bagilah $0$ dengan $- 1$ .

$x \geq 0$

Langkah 4.3.4.4

Tentukan domain dari $\sqrt{- x + 1} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.4.1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{- x + 1}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$- x + 1 \geq 0$

Langkah 4.3.4.4.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.4.2.1

Kurangkan $1$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$- x \geq - 1$

Langkah 4.3.4.4.2.2

Bagi setiap suku pada $- x \geq - 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.4.2.2.1

Bagi setiap suku dalam $- x \geq - 1$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 4.3.4.4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.4.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 4.3.4.4.2.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 4.3.4.4.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.4.2.2.3.1

Bagilah $- 1$ dengan $- 1$ .

$x \leq 1$

Langkah 4.3.4.4.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, 1]$

Langkah 4.3.4.5

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Langkah 4.3.4.6

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.6.1

Uji nilai pada interval $x < 0$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.6.1.1

Pilih nilai pada interval $x < 0$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 2$

Langkah 4.3.4.6.1.2

Ganti $x$ dengan $- 2$ pada pertidaksamaan asal.

$\sqrt{- (- 2) + 1} \leq - 1$

Langkah 4.3.4.6.1.3

Sisi kiri $1.7320508$ lebih besar dari sisi kanan $- 1$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 4.3.4.6.2

Uji nilai pada interval $0 < x < 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.6.2.1

Pilih nilai pada interval $0 < x < 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0.5$

Langkah 4.3.4.6.2.2

Ganti $x$ dengan $0.5$ pada pertidaksamaan asal.

$\sqrt{- (0.5) + 1} \leq - 1$

Langkah 4.3.4.6.2.3

Sisi kiri $0.70710678$ lebih besar dari sisi kanan $- 1$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 4.3.4.6.3

Uji nilai pada interval $x > 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.6.3.1

Pilih nilai pada interval $x > 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 4$

Langkah 4.3.4.6.3.2

Ganti $x$ dengan $4$ pada pertidaksamaan asal.

$\sqrt{- (4) + 1} \leq - 1$

Langkah 4.3.4.6.3.3

Sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, artinya pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 4.3.4.6.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < 0$ Salah

$0 < x < 1$ Salah

$x > 1$ Salah

$x < 0$ Salah

$0 < x < 1$ Salah

$x > 1$ Salah

Langkah 4.3.4.7

Karena tidak ada bilangan yang berada dalam interval, pertidaksamaan ini tidak memiliki penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 4.3.5

Atur argumen dalam $arcsec (\sqrt{- x + 1})$ agar lebih besar dari atau sama dengan $1$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$\sqrt{- x + 1} \geq 1$

Langkah 4.3.6

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.1

Untuk menghapus akar pada sisi kiri pertidaksamaan, kuadratkan kedua sisi pertidaksamaan.

${\sqrt{- x + 1}}^{2} \geq 1^{2}$

Langkah 4.3.6.2

Sederhanakan masing-masing sisi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{- x + 1}$ sebagai ${(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 1^{2}$

Langkah 4.3.6.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.2.2.1

Sederhanakan ${({(- x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.2.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(- x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.2.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

Langkah 4.3.6.2.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.2.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(- x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

Langkah 4.3.6.2.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(- x + 1)}^{1} \geq 1^{2}$

Langkah 4.3.6.2.2.1.2

Sederhanakan.

$- x + 1 \geq 1^{2}$

Langkah 4.3.6.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.2.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- x + 1 \geq 1$

Langkah 4.3.6.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.3.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.3.1.1

Kurangkan $1$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$- x \geq 1 - 1$

Langkah 4.3.6.3.1.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$- x \geq 0$

Langkah 4.3.6.3.2

Bagi setiap suku pada $- x \geq 0$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.3.2.1

Bagi setiap suku dalam $- x \geq 0$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Langkah 4.3.6.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.3.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Langkah 4.3.6.3.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x \leq \frac{0}{- 1}$

Langkah 4.3.6.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.3.2.3.1

Bagilah $0$ dengan $- 1$ .

$x \leq 0$

Langkah 4.3.6.4

Tentukan domain dari $\sqrt{- x + 1} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.4.1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{- x + 1}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$- x + 1 \geq 0$

Langkah 4.3.6.4.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.4.2.1

Kurangkan $1$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$- x \geq - 1$

Langkah 4.3.6.4.2.2

Bagi setiap suku pada $- x \geq - 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.4.2.2.1

Bagi setiap suku dalam $- x \geq - 1$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 4.3.6.4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.4.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 4.3.6.4.2.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 4.3.6.4.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.4.2.2.3.1

Bagilah $- 1$ dengan $- 1$ .

$x \leq 1$

Langkah 4.3.6.4.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, 1]$

Langkah 4.3.6.5

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x \leq 0$

Langkah 4.3.7

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, 1]$

Langkah 4.4

Karena domain dari $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{- x + 1}), arcsec (- \sqrt{- x + 1})$ tidak sama dengan daerah hasil dari $f (x) = 1 - \sec^{2} (x)$ , maka $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{- x + 1}), arcsec (- \sqrt{- x + 1})$ merupakan balikan dari $f (x) = 1 - \sec^{2} (x)$ .

Tidak ada balikan

Langkah 5