Trigonometri Contoh

$\sin (θ) - \cos (θ) = \sqrt{2}$

Langkah 1

Gunakan identitas untuk menyelesaikan persamaan. Dalam identitas ini, $θ$ mewakili sudut yang dibuat dengan menggambar titik $(a, b)$ pada grafik dan oleh karena itu dapat ditemukan menggunakan $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ di mana $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dan $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Langkah 2

Buat persamaannya untuk mencari nilai dari $θ$ .

$\tan^{-1} (- \frac{1}{1})$

Langkah 3

Ambil tangen balikan untuk menyelesaikan persamaan $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$θ = \tan^{-1} (- \frac{1}{1})$

Langkah 3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$θ = \tan^{-1} (- 1 \cdot 1)$

Langkah 3.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$θ = \tan^{-1} (- 1)$

Langkah 3.3

Nilai eksak dari $\tan^{-1} (- 1)$ adalah $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Langkah 4

Selesaikan untuk menemukan nilai dari $R$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$R = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2}}$

Langkah 4.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$R = \sqrt{1 + 1}$

Langkah 4.3

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$R = \sqrt{2}$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam persamaannya.

$(\sqrt{2}) \sin (θ - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$

Langkah 6

Bagi setiap suku pada $\sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ dengan $\sqrt{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagilah setiap suku di $\sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ dengan $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\sqrt{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Langkah 6.2.1.2

Bagilah $\sin (θ - \frac{π}{4})$ dengan $1$ .

$\sin (θ - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Langkah 6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\sqrt{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sin (θ - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Langkah 6.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sin (θ - \frac{π}{4}) = 1$

Langkah 7

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $θ$ dari dalam sinus.

$θ - \frac{π}{4} = \sin^{-1} (1)$

Langkah 8

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Nilai eksak dari $\sin^{-1} (1)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$θ - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Langkah 9

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $θ$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tambahkan $\frac{π}{4}$ ke kedua sisi persamaan.

$θ = \frac{π}{2} + \frac{π}{4}$

Langkah 9.2

Untuk menuliskan $\frac{π}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Langkah 9.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $4$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Kalikan $\frac{π}{2}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

Langkah 9.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

Langkah 9.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$θ = \frac{π \cdot 2 + π}{4}$

Langkah 9.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $π$ .

$θ = \frac{2 \cdot π + π}{4}$

Langkah 9.5.2

Tambahkan $2 π$ dan $π$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Langkah 10

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$θ - \frac{π}{4} = π - \frac{π}{2}$

Langkah 11

Selesaikan $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Sederhanakan $π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$θ - \frac{π}{4} = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 11.1.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$θ - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 11.1.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$θ - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 11.1.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.3.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $π$ .

$θ - \frac{π}{4} = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Langkah 11.1.3.2

Kurangi $π$ dengan $2 π$ .

$θ - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Langkah 11.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $θ$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Tambahkan $\frac{π}{4}$ ke kedua sisi persamaan.

$θ = \frac{π}{2} + \frac{π}{4}$

Langkah 11.2.2

Untuk menuliskan $\frac{π}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Langkah 11.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $4$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.1

Kalikan $\frac{π}{2}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

Langkah 11.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

Langkah 11.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$θ = \frac{π \cdot 2 + π}{4}$

Langkah 11.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.5.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $π$ .

$θ = \frac{2 \cdot π + π}{4}$

Langkah 11.2.5.2

Tambahkan $2 π$ dan $π$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Langkah 12

Tentukan periode dari $\sin (θ - \frac{π}{4})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 12.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 12.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 12.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 13

Periode dari fungsi $\sin (θ - \frac{π}{4})$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$θ = \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$