Trigonometri Contoh

$\cos (4 x) - \sin (4 x)$

Langkah 1

Saling tukar variabel.

$x = \cos (4 y) - \sin (4 y)$

Langkah 2

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\cos (4 y) - \sin (4 y) = x$ .

$\cos (4 y) - \sin (4 y) = x$

Langkah 2.2

Gunakan identitas untuk menyelesaikan persamaan. Dalam identitas ini, $θ$ mewakili sudut yang dibuat dengan menggambar titik $(a, b)$ pada grafik dan oleh karena itu dapat ditemukan menggunakan $θ = \arctan (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ di mana $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dan $θ = \arctan (\frac{b}{a})$

Langkah 2.3

Buat persamaannya untuk mencari nilai dari $θ$ .

$\arctan (\frac{1}{- 1})$

Langkah 2.4

Ambil tangen balikan untuk menyelesaikan persamaan $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Bagilah $1$ dengan $- 1$ .

$θ = \arctan (- 1)$

Langkah 2.4.2

Nilai eksak dari $\arctan (- 1)$ adalah $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Langkah 2.5

Selesaikan untuk menemukan nilai dari $R$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$R = \sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Langkah 2.5.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$R = \sqrt{1 + 1}$

Langkah 2.5.3

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$R = \sqrt{2}$

Langkah 2.6

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam persamaannya.

$(\sqrt{2}) \sin (4 y - \frac{π}{4}) = x$

Langkah 2.7

Bagi setiap suku pada $\sqrt{2} \sin (4 y - \frac{π}{4}) = x$ dengan $\sqrt{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Bagilah setiap suku di $\sqrt{2} \sin (4 y - \frac{π}{4}) = x$ dengan $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (4 y - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{x}{\sqrt{2}}$

Langkah 2.7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\sqrt{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{2} \sin (4 y - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{x}{\sqrt{2}}$

Langkah 2.7.2.1.2

Bagilah $\sin (4 y - \frac{π}{4})$ dengan $1$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x}{\sqrt{2}}$

Langkah 2.7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.3.1

Kalikan $\frac{x}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Langkah 2.7.3.2

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.3.2.1

Kalikan $\frac{x}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 2.7.3.2.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Langkah 2.7.3.2.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Langkah 2.7.3.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Langkah 2.7.3.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Langkah 2.7.3.2.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.3.2.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 2.7.3.2.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 2.7.3.2.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 2.7.3.2.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.3.2.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 2.7.3.2.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2^{1}}$

Langkah 2.7.3.2.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2}$

Langkah 2.8

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $y$ dari dalam sinus.

$4 y - \frac{π}{4} = \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})$

Langkah 2.9

Tambahkan $\frac{π}{4}$ ke kedua sisi persamaan.

$4 y = \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}$

Langkah 2.10

Bagi setiap suku pada $4 y = \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.1

Bagilah setiap suku di $4 y = \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}$ dengan $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Langkah 2.10.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Langkah 2.10.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Langkah 2.10.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.3.1.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Langkah 2.10.3.1.2

Kalikan $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.3.1.2.1

Kalikan $\frac{π}{4}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{4 \cdot 4}$

Langkah 2.10.3.1.2.2

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$

Langkah 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$

Langkah 4

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$ merupakan balikan dari $f (x) = \cos (4 x) - \sin (4 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk memverifikasi balikannya, periksa apakah $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Langkah 4.2

Evaluasi $f^{- 1} (f (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f^{- 1} (f (x))$

Langkah 4.2.2

Evaluasi $f^{- 1} (\cos (4 x) - \sin (4 x))$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f^{- 1} (\cos (4 x) - \sin (4 x)) = \frac{\arcsin (\frac{(\cos (4 x) - \sin (4 x)) \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$

Langkah 4.2.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{\arcsin (\frac{(\cos (4 x) - \sin (4 x)) \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$ .

$f^{- 1} (\cos (4 x) - \sin (4 x)) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2} (\cos (4 x) - \sin (4 x))}{2})}{4} + \frac{π}{16}$

Langkah 4.3

Evaluasi $f (f^{- 1} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f (f^{- 1} (x))$

Langkah 4.3.2

Evaluasi $f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

Langkah 4.3.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Terapkan sifat distributif.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4}) + 4 (\frac{π}{16})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

Langkah 4.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

Langkah 4.3.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{16})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

Langkah 4.3.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.3.1

Faktorkan $4$ dari $16$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{4 (4)})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

Langkah 4.3.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{4 \cdot 4})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

Langkah 4.3.3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

Langkah 4.3.3.4

Terapkan sifat distributif.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4}) + 4 (\frac{π}{16}))$

Langkah 4.3.3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4}) + 4 (\frac{π}{16}))$

Langkah 4.3.3.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{16}))$

Langkah 4.3.3.6

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.6.1

Faktorkan $4$ dari $16$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{4 (4)}))$

Langkah 4.3.3.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{4 \cdot 4}))$

Langkah 4.3.3.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4})$

Langkah 4.4

Karena $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ , maka $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$ merupakan balikan dari $f (x) = \cos (4 x) - \sin (4 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$