Trigonometri Contoh

$f (x) = - \sqrt{49 - x^{2}}$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = - \sqrt{49 - x^{2}}$ sebagai sebuah persamaan.

$y = - \sqrt{49 - x^{2}}$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = - \sqrt{49 - y^{2}}$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- \sqrt{49 - y^{2}} = x$ .

$- \sqrt{49 - y^{2}} = x$

Langkah 3.2

Bagi setiap suku pada $- \sqrt{49 - y^{2}} = x$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Bagilah setiap suku di $- \sqrt{49 - y^{2}} = x$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{49 - y^{2}}}{- 1} = \frac{x}{- 1}$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\sqrt{49 - y^{2}}}{1} = \frac{x}{- 1}$

Langkah 3.2.2.1.2

Tulis pernyataannya menggunakan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.2.1

Bagilah $\sqrt{49 - y^{2}}$ dengan $1$ .

$\sqrt{49 - y^{2}} = \frac{x}{- 1}$

Langkah 3.2.2.1.2.2

Tulis kembali $49$ sebagai $7^{2}$ .

$\sqrt{7^{2} - y^{2}} = \frac{x}{- 1}$

Langkah 3.2.2.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 7$ dan $b = y$ .

$\sqrt{(7 + y) (7 - y)} = \frac{x}{- 1}$

Langkah 3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{x}{- 1}$ .

$\sqrt{(7 + y) (7 - y)} = - 1 \cdot x$

Langkah 3.2.3.2

Tulis kembali $- 1 \cdot x$ sebagai $- x$ .

$\sqrt{(7 + y) (7 - y)} = - x$

Langkah 3.3

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{(7 + y) (7 - y)}}^{2} = {(- x)}^{2}$

Langkah 3.4

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{(7 + y) (7 - y)}$ sebagai ${((7 + y) (7 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((7 + y) (7 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x)}^{2}$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Sederhanakan ${({((7 + y) (7 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({((7 + y) (7 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((7 + y) (7 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${((7 + y) (7 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${((7 + y) (7 - y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.2

Perluas $(7 + y) (7 - y)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

${(7 (7 - y) + y (7 - y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

${(7 \cdot 7 + 7 (- y) + y (7 - y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

${(7 \cdot 7 + 7 (- y) + y \cdot 7 + y (- y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.3.1.1

Kalikan $7$ dengan $7$ .

${(49 + 7 (- y) + y \cdot 7 + y (- y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $7$ .

${(49 - 7 y + y \cdot 7 + y (- y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.3.1.3

Pindahkan $7$ ke sebelah kiri $y$ .

${(49 - 7 y + 7 \cdot y + y (- y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.3.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

${(49 - 7 y + 7 y - y \cdot y)}^{1} = {(- x)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.3.1.5

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.3.1.5.1

Pindahkan $y$ .

${(49 - 7 y + 7 y - (y \cdot y))}^{1} = {(- x)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.3.1.5.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

${(49 - 7 y + 7 y - y^{2})}^{1} = {(- x)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.3.2

Tambahkan $- 7 y$ dan $7 y$ .

${(49 + 0 - y^{2})}^{1} = {(- x)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.3.3

Tambahkan $49$ dan $0$ .

${(49 - y^{2})}^{1} = {(- x)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.4

Sederhanakan.

$49 - y^{2} = {(- x)}^{2}$

Langkah 3.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Sederhanakan ${(- x)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- x$ .

$49 - y^{2} = {(- 1)}^{2} x^{2}$

Langkah 3.4.3.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$49 - y^{2} = 1 x^{2}$

Langkah 3.4.3.1.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$49 - y^{2} = x^{2}$

Langkah 3.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Kurangkan $49$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- y^{2} = x^{2} - 49$

Langkah 3.5.2

Bagi setiap suku pada $- y^{2} = x^{2} - 49$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Bagilah setiap suku di $- y^{2} = x^{2} - 49$ dengan $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 49}{- 1}$

Langkah 3.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 49}{- 1}$

Langkah 3.5.2.2.2

Bagilah $y^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 49}{- 1}$

Langkah 3.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.3.1.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 49}{- 1}$

Langkah 3.5.2.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot x^{2}$ sebagai $- x^{2}$ .

$y^{2} = - x^{2} + \frac{- 49}{- 1}$

Langkah 3.5.2.3.1.3

Bagilah $- 49$ dengan $- 1$ .

$y^{2} = - x^{2} + 49$

Langkah 3.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 49}$

Langkah 3.5.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{- x^{2} + 49}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1.1

Tulis kembali $49$ sebagai $7^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 7^{2}}$

Langkah 3.5.4.1.2

Susun kembali $- x^{2}$ dan $7^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{7^{2} - x^{2}}$

Langkah 3.5.4.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 7$ dan $b = x$ .

$y = \pm \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

Langkah 3.5.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

Langkah 3.5.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

Langkah 3.5.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

$y = - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

Langkah 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}, - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}, - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ merupakan balikan dari $f (x) = - \sqrt{49 - x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Domain dari balikan adalah daerah hasil dari fungsi asal dan sebaliknya. Tentukan domain dan daerah hasil dari $f (x) = - \sqrt{49 - x^{2}}$ dan $f^{- 1} (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}, - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ dan bandingkan.

Langkah 5.2

Tentukan daerah hasil dari $f (x) = - \sqrt{49 - x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Jangkauannya adalah himpunan dari semua nilai $y$ yang valid. Gunakan grafik untuk mencari intervalnya.

Notasi Interval:

$[- 7, 0]$

Langkah 5.3

Tentukan domain dari $\sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$(7 + x) (7 - x) \geq 0$

Langkah 5.3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$7 + x = 0$

$7 - x = 0$

Langkah 5.3.2.2

Atur $7 + x$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Atur $7 + x$ sama dengan $0$ .

$7 + x = 0$

Langkah 5.3.2.2.2

Kurangkan $7$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 7$

Langkah 5.3.2.3

Atur $7 - x$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.1

Atur $7 - x$ sama dengan $0$ .

$7 - x = 0$

Langkah 5.3.2.3.2

Selesaikan $7 - x = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.2.1

Kurangkan $7$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x = - 7$

Langkah 5.3.2.3.2.2

Bagi setiap suku pada $- x = - 7$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- x = - 7$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Langkah 5.3.2.3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Langkah 5.3.2.3.2.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 1}$

Langkah 5.3.2.3.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.2.2.3.1

Bagilah $- 7$ dengan $- 1$ .

$x = 7$

Langkah 5.3.2.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(7 + x) (7 - x) \geq 0$ benar.

$x = - 7, 7$

Langkah 5.3.2.5

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 7$

$- 7 < x < 7$

$x > 7$

Langkah 5.3.2.6

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.6.1

Uji nilai pada interval $x < - 7$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.6.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 7$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 10$

Langkah 5.3.2.6.1.2

Ganti $x$ dengan $- 10$ pada pertidaksamaan asal.

$(7 - 10) (7 - (- 10)) \geq 0$

Langkah 5.3.2.6.1.3

Sisi kiri $- 51$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 5.3.2.6.2

Uji nilai pada interval $- 7 < x < 7$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.6.2.1

Pilih nilai pada interval $- 7 < x < 7$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 5.3.2.6.2.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$(7 + 0) (7 - (0)) \geq 0$

Langkah 5.3.2.6.2.3

Sisi kiri $49$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 5.3.2.6.3

Uji nilai pada interval $x > 7$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.6.3.1

Pilih nilai pada interval $x > 7$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 10$

Langkah 5.3.2.6.3.2

Ganti $x$ dengan $10$ pada pertidaksamaan asal.

$(7 + 10) (7 - (10)) \geq 0$

Langkah 5.3.2.6.3.3

Sisi kiri $- 51$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 5.3.2.6.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 7$ Salah

$- 7 < x < 7$ Benar

$x > 7$ Salah

$x < - 7$ Salah

$- 7 < x < 7$ Benar

$x > 7$ Salah

Langkah 5.3.2.7

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$- 7 \leq x \leq 7$

Langkah 5.3.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$[- 7, 7]$

Langkah 5.4

Karena domain dari $f^{- 1} (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}, - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ tidak sama dengan daerah hasil dari $f (x) = - \sqrt{49 - x^{2}}$ , maka $f^{- 1} (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}, - \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ merupakan balikan dari $f (x) = - \sqrt{49 - x^{2}}$ .

Tidak ada balikan

Langkah 6