Trigonometri Contoh

$f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$ sebagai sebuah persamaan.

$y = \sqrt{4 x^{2} + 3}$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = \sqrt{4 y^{2} + 3}$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\sqrt{4 y^{2} + 3} = x$ .

$\sqrt{4 y^{2} + 3} = x$

Langkah 3.2

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{4 y^{2} + 3}}^{2} = x^{2}$

Langkah 3.3

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{4 y^{2} + 3}$ sebagai ${(4 y^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 y^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Sederhanakan ${({(4 y^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(4 y^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Langkah 3.3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(4 y^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Langkah 3.3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(4 y^{2} + 3)}^{1} = x^{2}$

Langkah 3.3.2.1.2

Sederhanakan.

$4 y^{2} + 3 = x^{2}$

Langkah 3.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$4 y^{2} = x^{2} - 3$

Langkah 3.4.2

Bagi setiap suku pada $4 y^{2} = x^{2} - 3$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Bagilah setiap suku di $4 y^{2} = x^{2} - 3$ dengan $4$ .

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3}{4}$

Langkah 3.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3}{4}$

Langkah 3.4.2.2.1.2

Bagilah $y^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3}{4}$

Langkah 3.4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3}{4}$

Langkah 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{3}{4}}$

Langkah 3.4.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{3}{4}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} - 3}{4}}$

Langkah 3.4.4.2

Tulis kembali $\frac{x^{2} - 3}{4}$ sebagai ${(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.1

Faktorkan kuadrat sempurna $1^{2}$ dari $x^{2} - 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 3)}{4}}$

Langkah 3.4.4.2.2

Faktorkan kuadrat sempurna $2^{2}$ dari $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 3)}{2^{2} \cdot 1}}$

Langkah 3.4.4.2.3

Susun kembali pecahan $\frac{1^{2} (x^{2} - 3)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 3)}$

Langkah 3.4.4.3

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x^{2} - 3}$

Langkah 3.4.4.4

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sqrt{x^{2} - 3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

Langkah 3.4.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

Langkah 3.4.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

Langkah 3.4.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

Langkah 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$ merupakan balikan dari $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Domain dari balikan adalah daerah hasil dari fungsi asal dan sebaliknya. Tentukan domain dan daerah hasil dari $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$ dan $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$ dan bandingkan.

Langkah 5.2

Tentukan daerah hasil dari $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Jangkauannya adalah himpunan dari semua nilai $y$ yang valid. Gunakan grafik untuk mencari intervalnya.

Notasi Interval:

$[\sqrt{3}, \infty)$

Langkah 5.3

Tentukan domain dari $\frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{x^{2} - 3}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$x^{2} - 3 \geq 0$

Langkah 5.3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Tambahkan $3$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$x^{2} \geq 3$

Langkah 5.3.2.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{3}$

Langkah 5.3.2.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.1

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| x | \geq \sqrt{3}$

Langkah 5.3.2.4

Tulis $| x | \geq \sqrt{3}$ sebagai fungsi sesepenggal.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.4.1

Untuk mencari interval bagian pertama, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya tidak negatif.

$x \geq 0$

Langkah 5.3.2.4.2

Pada bagian di mana $x$ non-negatif, hapus nilai mutlaknya.

$x \geq \sqrt{3}$

Langkah 5.3.2.4.3

Untuk mencari interval bagian kedua, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya negatif.

$x < 0$

Langkah 5.3.2.4.4

Pada bagian di mana $x$ negatif, hapus nilai mutlaknya dan kalikan dengan $- 1$ .

$- x \geq \sqrt{3}$

Langkah 5.3.2.4.5

Tulis sebagai fungsi sesepenggal.

${\begin{cases} x \geq \sqrt{3} & x \geq 0 \\ - x \geq \sqrt{3} & x < 0 \end{cases}$

Langkah 5.3.2.5

Tentukan irisan dari $x \geq \sqrt{3}$ dan $x \geq 0$ .

$x \geq \sqrt{3}$

Langkah 5.3.2.6

Bagi setiap suku pada $- x \geq \sqrt{3}$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.6.1

Bagi setiap suku dalam $- x \geq \sqrt{3}$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Langkah 5.3.2.6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.6.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Langkah 5.3.2.6.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Langkah 5.3.2.6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.6.3.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{\sqrt{3}}{- 1}$ .

$x \leq - 1 \cdot \sqrt{3}$

Langkah 5.3.2.6.3.2

Tulis kembali $- 1 \cdot \sqrt{3}$ sebagai $- \sqrt{3}$ .

$x \leq - \sqrt{3}$

Langkah 5.3.2.7

Tentukan gabungan dari penyelesaian-penyelesaiannya.

$x \leq - \sqrt{3}$ atau $x \geq \sqrt{3}$

Langkah 5.3.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, - \sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, \infty)$

Langkah 5.4

Karena domain dari $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$ tidak sama dengan daerah hasil dari $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$ , maka $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}, - \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{2}$ merupakan balikan dari $f (x) = \sqrt{4 x^{2} + 3}$ .

Tidak ada balikan

Langkah 6