Trigonometri Contoh

$k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$

Langkah 1

Tuliskan $k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$ sebagai sebuah persamaan.

$y = \sqrt{2 x^{2} + 5}$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = \sqrt{2 y^{2} + 5}$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\sqrt{2 y^{2} + 5} = x$ .

$\sqrt{2 y^{2} + 5} = x$

Langkah 3.2

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{2 y^{2} + 5}}^{2} = x^{2}$

Langkah 3.3

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2 y^{2} + 5}$ sebagai ${(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Sederhanakan ${({(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Langkah 3.3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Langkah 3.3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(2 y^{2} + 5)}^{1} = x^{2}$

Langkah 3.3.2.1.2

Sederhanakan.

$2 y^{2} + 5 = x^{2}$

Langkah 3.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Kurangkan $5$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 y^{2} = x^{2} - 5$

Langkah 3.4.2

Bagi setiap suku pada $2 y^{2} = x^{2} - 5$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Bagilah setiap suku di $2 y^{2} = x^{2} - 5$ dengan $2$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 5}{2}$

Langkah 3.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 5}{2}$

Langkah 3.4.2.2.1.2

Bagilah $y^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 5}{2}$

Langkah 3.4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2} - \frac{5}{2}$

Langkah 3.4.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - \frac{5}{2}}$

Langkah 3.4.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - \frac{5}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} - 5}{2}}$

Langkah 3.4.4.2

Tulis kembali $\sqrt{\frac{x^{2} - 5}{2}}$ sebagai $\frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}}$

Langkah 3.4.4.3

Kalikan $\frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Langkah 3.4.4.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.4.1

Kalikan $\frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 3.4.4.4.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Langkah 3.4.4.4.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Langkah 3.4.4.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Langkah 3.4.4.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Langkah 3.4.4.4.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.4.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 3.4.4.4.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.4.4.4.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.4.4.4.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.4.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.4.4.4.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Langkah 3.4.4.4.6.5

Evaluasi eksponennya.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2}$

Langkah 3.4.4.5

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{2} - 5) \cdot 2}}{2}$

Langkah 3.4.4.6

Susun kembali faktor-faktor dalam $\pm \frac{\sqrt{(x^{2} - 5) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

Langkah 3.4.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

Langkah 3.4.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

Langkah 3.4.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

Langkah 4

Ganti $y$ dengan $k^{- 1} (x)$ untuk memunculkan jawaban akhir.

$k^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

Langkah 5

Periksa apakah $k^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$ merupakan balikan dari $k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Domain dari balikan adalah daerah hasil dari fungsi asal dan sebaliknya. Tentukan domain dan daerah hasil dari $k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$ dan $k^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$ dan bandingkan.

Langkah 5.2

Tentukan daerah hasil dari $k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Jangkauannya adalah himpunan dari semua nilai $y$ yang valid. Gunakan grafik untuk mencari intervalnya.

Notasi Interval:

$[\sqrt{5}, \infty)$

Langkah 5.3

Find the domain of the inverse.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tentukan domain dari $\frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{2 (x^{2} - 5)}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$2 (x^{2} - 5) \geq 0$

Langkah 5.3.1.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.1

Sederhanakan $2 (x^{2} - 5)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$2 x^{2} + 2 \cdot - 5 \geq 0$

Langkah 5.3.1.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $- 5$ .

$2 x^{2} - 10 \geq 0$

Langkah 5.3.1.2.2

Gambarkan setiap sisi persamaan. Penyelesaiannya adalah nilai x dari titik perpotongan.

$x = - \sqrt{5}, \sqrt{5}$

Langkah 5.3.1.2.3

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - \sqrt{5}$

$- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$

$x > \sqrt{5}$

Langkah 5.3.1.2.4

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.4.1

Uji nilai pada interval $x < - \sqrt{5}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.4.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - \sqrt{5}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 5$

Langkah 5.3.1.2.4.1.2

Ganti $x$ dengan $- 5$ pada pertidaksamaan asal.

$2 ({(- 5)}^{2} - 5) \geq 0$

Langkah 5.3.1.2.4.1.3

Sisi kiri $40$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 5.3.1.2.4.2

Uji nilai pada interval $- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.4.2.1

Pilih nilai pada interval $- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 5.3.1.2.4.2.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$2 ({(0)}^{2} - 5) \geq 0$

Langkah 5.3.1.2.4.2.3

Sisi kiri $- 10$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 5.3.1.2.4.3

Uji nilai pada interval $x > \sqrt{5}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.4.3.1

Pilih nilai pada interval $x > \sqrt{5}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 5$

Langkah 5.3.1.2.4.3.2

Ganti $x$ dengan $5$ pada pertidaksamaan asal.

$2 ({(5)}^{2} - 5) \geq 0$

Langkah 5.3.1.2.4.3.3

Sisi kiri $40$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 5.3.1.2.4.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - \sqrt{5}$ Benar

$- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ Salah

$x > \sqrt{5}$ Benar

$x < - \sqrt{5}$ Benar

$- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ Salah

$x > \sqrt{5}$ Benar

Langkah 5.3.1.2.5

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x \leq - \sqrt{5}$ atau $x \geq \sqrt{5}$

Langkah 5.3.1.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, - \sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$

Langkah 5.3.2

Tentukan gabungan dari $(- \infty, - \sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty), (- \infty, - \sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Gabungan tersebut terdiri dari semua anggota yang terkandung dalam setiap interval.

$(- \infty, - \sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$

Langkah 5.4

Karena domain dari $k^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$ tidak sama dengan daerah hasil dari $k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$ , maka $k^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$ merupakan balikan dari $k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$ .

Tidak ada balikan

Langkah 6