Trigonometri Contoh

$f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ sebagai sebuah persamaan.

$y = 7 \arcsin (x^{2})$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = 7 \arcsin (y^{2})$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $7 \arcsin (y^{2}) = x$ .

$7 \arcsin (y^{2}) = x$

Langkah 3.2

Bagi setiap suku pada $7 \arcsin (y^{2}) = x$ dengan $7$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Bagilah setiap suku di $7 \arcsin (y^{2}) = x$ dengan $7$ .

$\frac{7 \arcsin (y^{2})}{7} = \frac{x}{7}$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{7 \arcsin (y^{2})}{7} = \frac{x}{7}$

Langkah 3.2.2.1.2

Bagilah $\arcsin (y^{2})$ dengan $1$ .

$\arcsin (y^{2}) = \frac{x}{7}$

Langkah 3.3

Ambil balikan arcsinus dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $y$ dari dalam arcsinus.

$y^{2} = \sin (\frac{x}{7})$

Langkah 3.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Langkah 3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Langkah 3.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Langkah 3.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Langkah 4

Ganti $y$ dengan $f^{- 1} (x)$ untuk memunculkan jawaban akhir.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ merupakan balikan dari $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Domain dari balikan adalah daerah hasil dari fungsi asal dan sebaliknya. Tentukan domain dan daerah hasil dari $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ dan $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ dan bandingkan.

Langkah 5.2

Tentukan daerah hasil dari $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Jangkauannya adalah himpunan dari semua nilai $y$ yang valid. Gunakan grafik untuk mencari intervalnya.

Notasi Interval:

$[- \frac{7 π}{2}, \frac{7 π}{2}]$

Langkah 5.3

Find the domain of the inverse.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tentukan domain dari $\sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$\sin (\frac{x}{7}) \geq 0$

Langkah 5.3.1.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$\frac{x}{7} \geq \arcsin (0)$

Langkah 5.3.1.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{x}{7} \geq 0$

Langkah 5.3.1.2.3

Kalikan kedua ruas dengan $7$ .

$\frac{x}{7} \cdot 7 \geq 0 \cdot 7$

Langkah 5.3.1.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.4.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x}{7} \cdot 7 \geq 0 \cdot 7$

Langkah 5.3.1.2.4.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x \geq 0 \cdot 7$

Langkah 5.3.1.2.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.4.2.1

Kalikan $0$ dengan $7$ .

$x \geq 0$

Langkah 5.3.1.2.5

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$\frac{x}{7} = π - 0$

Langkah 5.3.1.2.6

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.6.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $7$ .

$7 \frac{x}{7} = 7 (π - 0)$

Langkah 5.3.1.2.6.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.6.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.6.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$7 \frac{x}{7} = 7 (π - 0)$

Langkah 5.3.1.2.6.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = 7 (π - 0)$

Langkah 5.3.1.2.6.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.6.2.2.1

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$x = 7 π$

Langkah 5.3.1.2.7

Tentukan periode dari $\sin (\frac{x}{7})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 5.3.1.2.7.2

Ganti $b$ dengan $\frac{1}{7}$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{7} |}$

Langkah 5.3.1.2.7.3

$\frac{1}{7}$ mendekati $0.\overline{142857}$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

$\frac{2 π}{\frac{1}{7}}$

Langkah 5.3.1.2.7.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$2 π \cdot 7$

Langkah 5.3.1.2.7.5

Kalikan $7$ dengan $2$ .

$14 π$

Langkah 5.3.1.2.8

Periode dari fungsi $\sin (\frac{x}{7})$ adalah $14 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $14 π$ radian di kedua arah.

$x = 14 π n, 7 π + 14 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 5.3.1.2.9

Gabungkan jawabannya.

$x = 7 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 5.3.1.2.10

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$0 < x < 7 π$

$7 π < x < 14 π$

Langkah 5.3.1.2.11

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.11.1

Uji nilai pada interval $0 < x < 7 π$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.11.1.1

Pilih nilai pada interval $0 < x < 7 π$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 2$

Langkah 5.3.1.2.11.1.2

Ganti $x$ dengan $2$ pada pertidaksamaan asal.

$\sin (\frac{2}{7}) \geq 0$

Langkah 5.3.1.2.11.1.3

Sisi kiri $0.28184285$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 5.3.1.2.11.2

Uji nilai pada interval $7 π < x < 14 π$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.11.2.1

Pilih nilai pada interval $7 π < x < 14 π$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 24$

Langkah 5.3.1.2.11.2.2

Ganti $x$ dengan $24$ pada pertidaksamaan asal.

$\sin (\frac{24}{7}) \geq 0$

Langkah 5.3.1.2.11.2.3

Sisi kiri $- 0.28305585$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 5.3.1.2.11.3

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$0 < x < 7 π$ Benar

$7 π < x < 14 π$ Salah

$0 < x < 7 π$ Benar

$7 π < x < 14 π$ Salah

Langkah 5.3.1.2.12

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$0 + 14 π n \leq x \leq 7 π + 14 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 5.3.1.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

${x | x = 0 + 14 π n, x = 7 π + 14 π n}$ $n$ , untuk bilangan bulat apa pun $n$

Langkah 5.3.2

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Gabungan tersebut terdiri dari semua anggota yang terkandung dalam setiap interval.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 5.4

Karena domain dari $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ tidak sama dengan daerah hasil dari $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ , maka $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ merupakan balikan dari $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ .

Tidak ada balikan

Langkah 6