Trigonometri Contoh

$\sin (x) + \sin (2 x) > 0$

Langkah 1

Terapkan identitas sudut ganda sinus.

$\sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x) > 0 = 0$

Langkah 2

Faktorkan $\sin (x)$ dari $\sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan $\sin (x)$ dari $\sin^{1} (x)$ .

$\sin (x) \cdot 1 + 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Langkah 2.3

Faktorkan $\sin (x)$ dari $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (2 \cos (x)) = 0$

Langkah 2.4

Faktorkan $\sin (x)$ dari $\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (2 \cos (x))$ .

$\sin (x) (1 + 2 \cos (x)) = 0$

Langkah 3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\sin (x) = 0$

$1 + 2 \cos (x) = 0$

Langkah 4

Atur $\sin (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur $\sin (x)$ sama dengan $0$ .

$\sin (x) = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $\sin (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (0)$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 4.2.3

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - 0$

Langkah 4.2.4

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$x = π$

Langkah 4.2.5

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 4.2.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 4.2.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 4.2.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 4.2.6

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 5

Atur $1 + 2 \cos (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur $1 + 2 \cos (x)$ sama dengan $0$ .

$1 + 2 \cos (x) = 0$

Langkah 5.2

Selesaikan $1 + 2 \cos (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 \cos (x) = - 1$

Langkah 5.2.2

Bagi setiap suku pada $2 \cos (x) = - 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 \cos (x) = - 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 5.2.2.2.1.2

Bagilah $\cos (x)$ dengan $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Langkah 5.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Langkah 5.2.3

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Langkah 5.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Nilai eksak dari $\arccos (- \frac{1}{2})$ adalah $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Langkah 5.2.5

Fungsi kosinus negatif di kuadran kedua dan ketiga. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menghitung penyelesaian di kuadran ketiga.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Langkah 5.2.6

Sederhanakan $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Langkah 5.2.6.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Langkah 5.2.6.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Langkah 5.2.6.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.3.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Langkah 5.2.6.3.2

Kurangi $2 π$ dengan $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Langkah 5.2.7

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 5.2.7.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 5.2.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 5.2.7.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 5.2.8

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $\sin (x) (1 + 2 \cos (x)) = 0$ benar.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 7

Gabungkan $2 π n$ dan $π + 2 π n$ menjadi $π n$ .

$x = π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 8

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$0 < x < \frac{2 π}{3}$

$\frac{2 π}{3} < x < π$

$π < x < \frac{4 π}{3}$

$\frac{4 π}{3} < x < 2 π$

$2 π < x < \frac{8 π}{3}$

Langkah 9

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Uji nilai pada interval $0 < x < \frac{2 π}{3}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Pilih nilai pada interval $0 < x < \frac{2 π}{3}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 1$

Langkah 9.1.2

Ganti $x$ dengan $1$ pada pertidaksamaan asal.

$\sin (1) + \sin (2 (1)) > 0$

Langkah 9.1.3

Sisi kiri $1.75076841$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 9.2

Uji nilai pada interval $\frac{2 π}{3} < x < π$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Pilih nilai pada interval $\frac{2 π}{3} < x < π$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 3$

Langkah 9.2.2

Ganti $x$ dengan $3$ pada pertidaksamaan asal.

$\sin (3) + \sin (2 (3)) > 0$

Langkah 9.2.3

Sisi kiri $- 0.13829549$ tidak lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 9.3

Uji nilai pada interval $π < x < \frac{4 π}{3}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Pilih nilai pada interval $π < x < \frac{4 π}{3}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 4$

Langkah 9.3.2

Ganti $x$ dengan $4$ pada pertidaksamaan asal.

$\sin (4) + \sin (2 (4)) > 0$

Langkah 9.3.3

Sisi kiri $0.23255575$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 9.4

Uji nilai pada interval $\frac{4 π}{3} < x < 2 π$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.1

Pilih nilai pada interval $\frac{4 π}{3} < x < 2 π$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 5$

Langkah 9.4.2

Ganti $x$ dengan $5$ pada pertidaksamaan asal.

$\sin (5) + \sin (2 (5)) > 0$

Langkah 9.4.3

Sisi kiri $- 1.50294538$ tidak lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 9.5

Uji nilai pada interval $2 π < x < \frac{8 π}{3}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.1

Pilih nilai pada interval $2 π < x < \frac{8 π}{3}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 7$

Langkah 9.5.2

Ganti $x$ dengan $7$ pada pertidaksamaan asal.

$\sin (7) + \sin (2 (7)) > 0$

Langkah 9.5.3

Sisi kiri $1.64759395$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 9.6

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$0 < x < \frac{2 π}{3}$ Benar

$\frac{2 π}{3} < x < π$ Salah

$π < x < \frac{4 π}{3}$ Benar

$\frac{4 π}{3} < x < 2 π$ Salah

$2 π < x < \frac{8 π}{3}$ Benar

$0 < x < \frac{2 π}{3}$ Benar

$\frac{2 π}{3} < x < π$ Salah

$π < x < \frac{4 π}{3}$ Benar

$\frac{4 π}{3} < x < 2 π$ Salah

$2 π < x < \frac{8 π}{3}$ Benar

Langkah 10

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$0 + 2 π n < x < \frac{2 π}{3} + 2 π n$ or $π + 2 π n < x < \frac{4 π}{3} + 2 π n$ or $2 π + 2 π n < x < \frac{8 π}{3} + 2 π n$ , for any integer $n$

Langkah 11

Gabungkan interval-intervalnya.

$π + 2 π n < x < \frac{4 π}{3} + 2 π n or 2 π n < x < \frac{2 π}{3} + 2 π n or 2 π + 2 π n < x < \frac{8 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 12