Trigonometri Contoh

$\csc (x) (3 \cot^{2} (x) - 1) = 0$

Langkah 1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\csc (x) = 0$

$3 \cot^{2} (x) - 1 = 0$

Langkah 2

Atur $\csc (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur $\csc (x)$ sama dengan $0$ .

$\csc (x) = 0$

Langkah 2.2

Jangkauan dari kosekan adalah $y \leq - 1$ dan $y \geq 1$ . Karena $0$ tidak berada pada jangkauan ini, maka tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3

Atur $3 \cot^{2} (x) - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur $3 \cot^{2} (x) - 1$ sama dengan $0$ .

$3 \cot^{2} (x) - 1 = 0$

Langkah 3.2

Selesaikan $3 \cot^{2} (x) - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$3 \cot^{2} (x) = 1$

Langkah 3.2.2

Bagi setiap suku pada $3 \cot^{2} (x) = 1$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $3 \cot^{2} (x) = 1$ dengan $3$ .

$\frac{3 \cot^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Langkah 3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \cot^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Langkah 3.2.2.2.1.2

Bagilah $\cot^{2} (x)$ dengan $1$ .

$\cot^{2} (x) = \frac{1}{3}$

Langkah 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cot (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Langkah 3.2.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Tulis kembali $\sqrt{\frac{1}{3}}$ sebagai $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Langkah 3.2.4.2

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$\cot (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Langkah 3.2.4.3

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Langkah 3.2.4.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.4.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Langkah 3.2.4.4.2

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Langkah 3.2.4.4.3

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Langkah 3.2.4.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Langkah 3.2.4.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Langkah 3.2.4.4.6

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.4.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 3.2.4.4.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.2.4.4.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.2.4.4.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.4.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.2.4.4.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Langkah 3.2.4.4.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Langkah 3.2.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Langkah 3.2.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Langkah 3.2.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Langkah 3.2.6

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $x$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Langkah 3.2.7

Selesaikan $x$ dalam $\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.1

Ambil kotangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kotangen.

$x = arccot (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Langkah 3.2.7.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.2.1

Nilai eksak dari $arccot (\frac{\sqrt{3}}{3})$ adalah $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Langkah 3.2.7.3

Fungsi kotangen positif di kuadran pertama dan ketiga. Untuk mencari penyelesaian kedua, tambahkan sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaian di kuadran keempat.

$x = π + \frac{π}{3}$

Langkah 3.2.7.4

Sederhanakan $π + \frac{π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.4.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Langkah 3.2.7.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.4.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Langkah 3.2.7.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Langkah 3.2.7.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.4.3.1

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Langkah 3.2.7.4.3.2

Tambahkan $3 π$ dan $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Langkah 3.2.7.5

Tentukan periode dari $\cot (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Langkah 3.2.7.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Langkah 3.2.7.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{π}{1}$

Langkah 3.2.7.5.4

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 3.2.7.6

Periode dari fungsi $\cot (x)$ adalah $π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3.2.8

Selesaikan $x$ dalam $\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.1

Ambil kotangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kotangen.

$x = arccot (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Langkah 3.2.8.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.2.1

Nilai eksak dari $arccot (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ adalah $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Langkah 3.2.8.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{2 π}{3} - π$

Langkah 3.2.8.4

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.4.1

Tambahkan $2 π$ ke $\frac{2 π}{3} - π$ .

$x = \frac{2 π}{3} - π + 2 π$

Langkah 3.2.8.4.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{5 π}{3}$ positif dan koterminal dengan $\frac{2 π}{3} - π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Langkah 3.2.8.5

Tentukan periode dari $\cot (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Langkah 3.2.8.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Langkah 3.2.8.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{π}{1}$

Langkah 3.2.8.5.4

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 3.2.8.6

Periode dari fungsi $\cot (x)$ adalah $π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3.2.9

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3.2.10

Gabungkan penyelesaiannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.10.1

Gabungkan $\frac{π}{3} + π n$ dan $\frac{4 π}{3} + π n$ menjadi $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3.2.10.2

Gabungkan $\frac{2 π}{3} + π n$ dan $\frac{5 π}{3} + π n$ menjadi $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $\csc (x) (3 \cot^{2} (x) - 1) = 0$ benar.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$