Trigonometri Contoh

$\arccos (x) + \arccos (2 x) = \frac{π}{3}$

Langkah 1

Jika $a = b$ , maka $\cos (a) = \cos (b)$ .

$\cos (\arccos (x) + \arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 2

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Terapkan identitas penjumlahan sudut $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (\arccos (x)) \cos (\arccos (2 x)) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Fungsi kosinus dan arckosinus adalah balikan.

$x \cos (\arccos (2 x)) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 2.2.2

Fungsi kosinus dan arckosinus adalah balikan.

$x (2 x) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 x \cdot x - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 2.2.4

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Pindahkan $x$ .

$2 (x \cdot x) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 2.2.4.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$2 x^{2} - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 2.2.5

Gambar sebuah segitiga pada bidang datar dengan sudut $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ , dan titik asal. Kemudian $\arccos (x)$ adalah sudut antara sumbu x positif dan sinar garis yang berawal dari titik asal, serta melewati $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . Oleh karena itu, $\sin (\arccos (x))$ adalah $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$2 x^{2} - \sqrt{1 - x^{2}} \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 2.2.6

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$2 x^{2} - \sqrt{1^{2} - x^{2}} \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 2.2.7

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 1$ dan $b = x$ .

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 2.2.8

Gambar sebuah segitiga pada bidang datar dengan sudut $(2 x, \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}})$ , $(2 x, 0)$ , dan titik asal. Kemudian $\arccos (2 x)$ adalah sudut antara sumbu x positif dan sinar garis yang berawal dari titik asal, serta melewati $(2 x, \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}})$ . Oleh karena itu, $\sin (\arccos (2 x))$ adalah $\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}$ .

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1 - {(2 x)}^{2}} = \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 2.2.9

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}} = \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 2.2.10

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 1$ dan $b = 2 x$ .

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))} = \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 2.2.11

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} = \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 2.2.12

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x) (1 + x) (1 - x)} = \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 3

Perluas sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x) (1 + x) (1 - x)} = \frac{1}{2}$

Langkah 4

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gambarkan setiap sisi persamaan. Penyelesaiannya adalah nilai x dari titik perpotongan.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$

Langkah 5

Meniadakan penyelesaian yang tidak membuat $\arccos (x) + \arccos (2 x) = \frac{π}{3}$ benar.

$x = \frac{1}{2}$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$x = \frac{1}{2}$

Bentuk Desimal:

$x = 0.5$