Trigonometri Contoh

$4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 6 y - 29 = 0$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari elips.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tambahkan $29$ ke kedua sisi persamaan.

$4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 6 y = 29$

Langkah 1.2

Selesaikan kuadrat dari $4 x^{2} + 8 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 4$

$b = 8$

$c = 0$

Langkah 1.2.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.2.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

Langkah 1.2.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{4}{4}$

Langkah 1.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{4}{4}$

Langkah 1.2.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$d = 1$

Langkah 1.2.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

Langkah 1.2.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1.1

Naikkan $8$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Langkah 1.2.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Langkah 1.2.4.2.1.3

Bagilah $64$ dengan $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Langkah 1.2.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$e = 0 - 4$

Langkah 1.2.4.2.2

Kurangi $4$ dengan $0$ .

$e = - 4$

Langkah 1.2.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(x + 1)}^{2} - 4$

Langkah 1.3

Substitusikan $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ untuk $4 x^{2} + 8 x$ dalam persamaan $4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 6 y = 29$ .

$4 {(x + 1)}^{2} - 4 + 3 y^{2} - 6 y = 29$

Langkah 1.4

Pindahkan $- 4$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $4$ ke kedua sisinya.

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 y^{2} - 6 y = 29 + 4$

Langkah 1.5

Selesaikan kuadrat dari $3 y^{2} - 6 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 3$

$b = - 6$

$c = 0$

Langkah 1.5.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.5.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.5.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.5.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (3)}$

Langkah 1.5.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.5.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 3}{3}$

Langkah 1.5.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 3$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $- 3$ .

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3}$

Langkah 1.5.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)}$

Langkah 1.5.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1}$

Langkah 1.5.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 1}{1}$

Langkah 1.5.3.2.2.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$d = - 1$

Langkah 1.5.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Naikkan $- 6$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 3}$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$e = 0 - \frac{36}{12}$

Langkah 1.5.4.2.1.3

Bagilah $36$ dengan $12$ .

$e = 0 - 1 \cdot 3$

Langkah 1.5.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$e = 0 - 3$

Langkah 1.5.4.2.2

Kurangi $3$ dengan $0$ .

$e = - 3$

Langkah 1.5.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $3 {(y - 1)}^{2} - 3$ .

$3 {(y - 1)}^{2} - 3$

Langkah 1.6

Substitusikan $3 {(y - 1)}^{2} - 3$ untuk $3 y^{2} - 6 y$ dalam persamaan $4 x^{2} + 3 y^{2} + 8 x - 6 y = 29$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 {(y - 1)}^{2} - 3 = 29 + 4$

Langkah 1.7

Pindahkan $- 3$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $3$ ke kedua sisinya.

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 {(y - 1)}^{2} = 29 + 4 + 3$

Langkah 1.8

Sederhanakan $29 + 4 + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Tambahkan $29$ dan $4$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 {(y - 1)}^{2} = 33 + 3$

Langkah 1.8.2

Tambahkan $33$ dan $3$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 3 {(y - 1)}^{2} = 36$

Langkah 1.9

Bagi setiap suku dengan $36$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$\frac{4 {(x + 1)}^{2}}{36} + \frac{3 {(y - 1)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Langkah 1.10

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{9} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{12} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari elips. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan pusat serta sumbu panjang dan sumbu pendek dari elips.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari elips ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $a$ mewakili radius sumbu panjang elips, $b$ mewakili radius sumbu pendek elips, $h$ mewakili x-offset dari titik asal, dan $k$ mewakili y-offset dari titik asal.

$a = 2 \sqrt{3}$

$b = 3$

$k = 1$

$h = - 1$

Langkah 4

Pusat elips mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(- 1, 1)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus elips menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} - {(3)}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} - {(3)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} - {(3)}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(3)}^{2}}$

Langkah 5.3.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(3)}^{2}}$

Langkah 5.3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(3)}^{2}}$

Langkah 5.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(3)}^{2}}$

Langkah 5.3.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{4 \cdot 3^{1} - {(3)}^{2}}$

Langkah 5.3.2.5

Evaluasi eksponennya.

$\sqrt{4 \cdot 3 - {(3)}^{2}}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$\sqrt{12 - {(3)}^{2}}$

Langkah 5.3.3.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{12 - 1 \cdot 9}$

Langkah 5.3.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $9$ .

$\sqrt{12 - 9}$

Langkah 5.3.3.4

Kurangi $9$ dengan $12$ .

$\sqrt{3}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $k$ .

$(h, k + a)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(- 1, 1 + 2 \sqrt{3})$

Langkah 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Langkah 6.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(- 1, 1 - (2 \sqrt{3}))$

Langkah 6.5

Sederhanakan.

$(- 1, 1 - 2 \sqrt{3})$

Langkah 6.6

Elips mempunyai dua puncak.

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 1 + 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 1 - 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 1 + 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 1 - 2 \sqrt{3})$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $k$ .

$(h, k + c)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(- 1, 1 + \sqrt{3})$

Langkah 7.3

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan mengurangi $c$ dari $k$ .

$(h, k - c)$

Langkah 7.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(- 1, 1 - (\sqrt{3}))$

Langkah 7.5

Sederhanakan.

$(- 1, 1 - \sqrt{3})$

Langkah 7.6

Elips mempunyai dua titik api.

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 1 + \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 1 - \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 1 + \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 1 - \sqrt{3})$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} - {(3)}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.3

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.3.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{1} - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.3.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3 - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.4

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$\frac{\sqrt{12 - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.5

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{12 - 1 \cdot 9}}{2 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $9$ .

$\frac{\sqrt{12 - 9}}{2 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.7

Kurangi $9$ dengan $12$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\sqrt{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2}$

Langkah 9

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis elips.

Pusat: $(- 1, 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 1 + 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 1 - 2 \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 1 + \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 1 - \sqrt{3})$

Eksentrisitas: $\frac{1}{2}$

Langkah 10