Trigonometri Contoh

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{80} = 1$

Langkah 1

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{80} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari elips. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan pusat serta sumbu panjang dan sumbu pendek dari elips.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari elips ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $a$ mewakili radius sumbu panjang elips, $b$ mewakili radius sumbu pendek elips, $h$ mewakili x-offset dari titik asal, dan $k$ mewakili y-offset dari titik asal.

$a = 4 \sqrt{5}$

$b = 8$

$k = 0$

$h = 0$

Langkah 4

Pusat elips mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(0, 0)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus elips menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(4 \sqrt{5})}^{2} - {(8)}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $4 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{4^{2} {\sqrt{5}}^{2} - {(8)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{16 {\sqrt{5}}^{2} - {(8)}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Tulis kembali ${\sqrt{5}}^{2}$ sebagai $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5}$ sebagai $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{16 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(8)}^{2}}$

Langkah 5.3.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{16 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(8)}^{2}}$

Langkah 5.3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\sqrt{16 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - {(8)}^{2}}$

Langkah 5.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{16 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - {(8)}^{2}}$

Langkah 5.3.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{16 \cdot 5^{1} - {(8)}^{2}}$

Langkah 5.3.2.5

Evaluasi eksponennya.

$\sqrt{16 \cdot 5 - {(8)}^{2}}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Kalikan $16$ dengan $5$ .

$\sqrt{80 - {(8)}^{2}}$

Langkah 5.3.3.2

Naikkan $8$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{80 - 1 \cdot 64}$

Langkah 5.3.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $64$ .

$\sqrt{80 - 64}$

Langkah 5.3.3.4

Kurangi $64$ dengan $80$ .

$\sqrt{16}$

Langkah 5.3.3.5

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2}}$

Langkah 5.3.3.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$4$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $k$ .

$(h, k + a)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, 0 + 4 \sqrt{5})$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$(0, 4 \sqrt{5})$

Langkah 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Langkah 6.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, 0 - (4 \sqrt{5}))$

Langkah 6.6

Sederhanakan.

$(0, - 4 \sqrt{5})$

Langkah 6.7

Elips mempunyai dua puncak.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 4 \sqrt{5})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 4 \sqrt{5})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 4 \sqrt{5})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 4 \sqrt{5})$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $k$ .

$(h, k + c)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, 0 + 4)$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

$(0, 4)$

Langkah 7.4

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan mengurangi $c$ dari $k$ .

$(h, k - c)$

Langkah 7.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, 0 - (4))$

Langkah 7.6

Sederhanakan.

$(0, - 4)$

Langkah 7.7

Elips mempunyai dua titik api.

${Focus}_{1}$ : $(0, 4)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 4)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 4)$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(4 \sqrt{5})}^{2} - {(8)}^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $4 \sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} {\sqrt{5}}^{2} - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Langkah 8.3.1.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{16 {\sqrt{5}}^{2} - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Langkah 8.3.1.3

Tulis kembali ${\sqrt{5}}^{2}$ sebagai $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5}$ sebagai $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{16 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Langkah 8.3.1.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Langkah 8.3.1.3.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Langkah 8.3.1.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{16 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Langkah 8.3.1.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{16 \cdot 5^{1} - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Langkah 8.3.1.3.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{16 \cdot 5 - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Langkah 8.3.1.4

Kalikan $16$ dengan $5$ .

$\frac{\sqrt{80 - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Langkah 8.3.1.5

Naikkan $8$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{80 - 1 \cdot 64}}{4 \sqrt{5}}$

Langkah 8.3.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $64$ .

$\frac{\sqrt{80 - 64}}{4 \sqrt{5}}$

Langkah 8.3.1.7

Kurangi $64$ dengan $80$ .

$\frac{\sqrt{16}}{4 \sqrt{5}}$

Langkah 8.3.1.8

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Langkah 8.3.1.9

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{4}{4 \sqrt{5}}$

Langkah 8.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4}{4 \sqrt{5}}$

Langkah 8.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{\sqrt{5}}$

Langkah 8.3.3

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{5}}$ dengan $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Langkah 8.3.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.4.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{5}}$ dengan $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Langkah 8.3.4.2

Naikkan $\sqrt{5}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Langkah 8.3.4.3

Naikkan $\sqrt{5}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Langkah 8.3.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Langkah 8.3.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Langkah 8.3.4.6

Tulis kembali ${\sqrt{5}}^{2}$ sebagai $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.4.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5}$ sebagai $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 8.3.4.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 8.3.4.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 8.3.4.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.4.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 8.3.4.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

Langkah 8.3.4.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Langkah 9

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis elips.

Pusat: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 4 \sqrt{5})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 4 \sqrt{5})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 4)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 4)$

Eksentrisitas: $\frac{\sqrt{5}}{5}$

Langkah 10