Trigonometri Contoh

$\sin (4 x)$

Langkah 1

Metode yang bagus untuk memperluas $\sin (4 x)$ adalah menggunakan teorema De Moivre $(r {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n} = r^{n} (\cos (n x) + i \cdot \sin (n x)))$ . Ketika $r = 1$ , $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ .

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$

Langkah 2

Perluas sisi kanan dari $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ menggunakan teorema binomial.

Perluas: ${(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{4}$

Langkah 3

Gunakan Teorema Binomial.

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) (i \sin (x)) + 6 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{2} + 4 \cos (x) {(i \sin (x))}^{3} + {(i \sin (x))}^{4}$

Langkah 4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $i \sin (x)$ .

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) + 6 \cos^{2} (x) (i^{2} \sin^{2} (x)) + 4 \cos (x) {(i \sin (x))}^{3} + {(i \sin (x))}^{4}$

Langkah 4.1.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) + 6 \cdot i^{2} \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + 4 \cos (x) {(i \sin (x))}^{3} + {(i \sin (x))}^{4}$

Langkah 4.1.3

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) + 6 \cdot - 1 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + 4 \cos (x) {(i \sin (x))}^{3} + {(i \sin (x))}^{4}$

Langkah 4.1.4

Kalikan $6$ dengan $- 1$ .

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + 4 \cos (x) {(i \sin (x))}^{3} + {(i \sin (x))}^{4}$

Langkah 4.1.5

Terapkan kaidah hasil kali ke $i \sin (x)$ .

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + 4 \cos (x) (i^{3} \sin^{3} (x)) + {(i \sin (x))}^{4}$

Langkah 4.1.6

Faktorkan $i^{2}$ .

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + 4 \cos (x) (i^{2} \cdot i \sin^{3} (x)) + {(i \sin (x))}^{4}$

Langkah 4.1.7

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + 4 \cos (x) (- 1 \cdot i \sin^{3} (x)) + {(i \sin (x))}^{4}$

Langkah 4.1.8

Tulis kembali $- 1 i$ sebagai $- i$ .

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + 4 \cos (x) (- i \sin^{3} (x)) + {(i \sin (x))}^{4}$

Langkah 4.1.9

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) (i \sin^{3} (x)) + {(i \sin (x))}^{4}$

Langkah 4.1.10

Terapkan kaidah hasil kali ke $i \sin (x)$ .

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) i \sin^{3} (x) + i^{4} \sin^{4} (x)$

Langkah 4.1.11

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.11.1

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai ${(i^{2})}^{2}$ .

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) i \sin^{3} (x) + {(i^{2})}^{2} \sin^{4} (x)$

Langkah 4.1.11.2

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) i \sin^{3} (x) + {(- 1)}^{2} \sin^{4} (x)$

Langkah 4.1.11.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) i \sin^{3} (x) + 1 \sin^{4} (x)$

Langkah 4.1.12

Kalikan $\sin^{4} (x)$ dengan $1$ .

$\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) i \sin^{3} (x) + \sin^{4} (x)$

Langkah 4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\cos^{4} (x) + 4 \cos^{3} (x) i \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) i \sin^{3} (x) + \sin^{4} (x)$ .

$\cos^{4} (x) + 4 i \cos^{3} (x) \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 4 i \cos (x) \sin^{3} (x) + \sin^{4} (x)$

Langkah 5

Ambil pernyataan dengan bagian imajiner, yang sama dengan $\sin (4 x)$ . Hapus bilangan imajiner $i$ .

$\sin (4 x) = 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - 4 \cos (x) \sin^{3} (x)$