Trigonometri Contoh

${(- 1 + i)}^{5}$

Langkah 1

Gunakan Teorema Binomial.

${(- 1)}^{5} + 5 {(- 1)}^{4} i + 10 {(- 1)}^{3} i^{2} + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $5$ .

$- 1 + 5 {(- 1)}^{4} i + 10 {(- 1)}^{3} i^{2} + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $4$ .

$- 1 + 5 \cdot 1 i + 10 {(- 1)}^{3} i^{2} + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.3

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$- 1 + 5 i + 10 {(- 1)}^{3} i^{2} + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.4

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$- 1 + 5 i + 10 \cdot - 1 i^{2} + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.5

Kalikan $10$ dengan $- 1$ .

$- 1 + 5 i - 10 i^{2} + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.6

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$- 1 + 5 i - 10 \cdot - 1 + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.7

Kalikan $- 10$ dengan $- 1$ .

$- 1 + 5 i + 10 + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.8

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$- 1 + 5 i + 10 + 10 \cdot 1 i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.9

Kalikan $10$ dengan $1$ .

$- 1 + 5 i + 10 + 10 i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.10

Faktorkan $i^{2}$ .

$- 1 + 5 i + 10 + 10 (i^{2} \cdot i) + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.11

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$- 1 + 5 i + 10 + 10 (- 1 \cdot i) + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.12

Tulis kembali $- 1 i$ sebagai $- i$ .

$- 1 + 5 i + 10 + 10 (- i) + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.13

Kalikan $- 1$ dengan $10$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.14

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 i^{4} + i^{5}$

Langkah 2.1.15

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.15.1

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai ${(i^{2})}^{2}$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 {(i^{2})}^{2} + i^{5}$

Langkah 2.1.15.2

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 {(- 1)}^{2} + i^{5}$

Langkah 2.1.15.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 \cdot 1 + i^{5}$

Langkah 2.1.16

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 + i^{5}$

Langkah 2.1.17

Faktorkan $i^{4}$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 + i^{4} i$

Langkah 2.1.18

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.18.1

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai ${(i^{2})}^{2}$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 + {(i^{2})}^{2} i$

Langkah 2.1.18.2

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 + {(- 1)}^{2} i$

Langkah 2.1.18.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 + 1 i$

Langkah 2.1.19

Kalikan $i$ dengan $1$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 + i$

Langkah 2.2

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Tambahkan $- 1$ dan $10$ .

$9 + 5 i - 10 i - 5 + i$

Langkah 2.2.2

Kurangi $5$ dengan $9$ .

$4 + 5 i - 10 i + i$

Langkah 2.2.3

Kurangi $10 i$ dengan $5 i$ .

$4 - 5 i + i$

Langkah 2.2.4

Tambahkan $- 5 i$ dan $i$ .

$4 - 4 i$

Langkah 3

Ini adalah bentuk trigonometri dari bilangan kompleks di mana $| z |$ adalah modulusnya dan $θ$ adalah sudut yang dibuat di bidang kompleks.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Langkah 4

Modulus bilangan kompleks adalah jarak dari asal pada bidang kompleks.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ di mana $z = a + b i$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai aktual dari $a = 4$ dan $b = - 4$ .

$| z | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + 4^{2}}$

Langkah 6

Temukan $| z |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 4^{2}}$

Langkah 6.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16}$

Langkah 6.3

Tambahkan $16$ dan $16$ .

$| z | = \sqrt{32}$

Langkah 6.4

Tulis kembali $32$ sebagai $4^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Faktorkan $16$ dari $32$ .

$| z | = \sqrt{16 (2)}$

Langkah 6.4.2

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Langkah 6.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| z | = 4 \sqrt{2}$

Langkah 7

Sudut dari titik pada bidang kompleks adalah tangen balikan dari bagian kompleks per bagian riil.

$θ = \arctan (\frac{- 4}{4})$

Langkah 8

Karena tangen balikan $\frac{- 4}{4}$ menghasilkan sudut di kuadran keempat, nilai dari sudut tersebut adalah $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Langkah 9

Substitusikan nilai-nilai dari $θ = - \frac{π}{4}$ dan $| z | = 4 \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2} (\cos (- \frac{π}{4}) + i \sin (- \frac{π}{4}))$