Trigonometri Contoh

${(1 + i)}^{3}$

Langkah 1

Gunakan Teorema Binomial.

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} i + 3 \cdot 1 i^{2} + i^{3}$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 + 3 \cdot 1^{2} i + 3 \cdot 1 i^{2} + i^{3}$

Langkah 2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 + 3 \cdot 1 i + 3 \cdot 1 i^{2} + i^{3}$

Langkah 2.1.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$1 + 3 i + 3 \cdot 1 i^{2} + i^{3}$

Langkah 2.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$1 + 3 i + 3 i^{2} + i^{3}$

Langkah 2.1.5

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$1 + 3 i + 3 \cdot - 1 + i^{3}$

Langkah 2.1.6

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$1 + 3 i - 3 + i^{3}$

Langkah 2.1.7

Faktorkan $i^{2}$ .

$1 + 3 i - 3 + i^{2} \cdot i$

Langkah 2.1.8

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$1 + 3 i - 3 - 1 \cdot i$

Langkah 2.1.9

Tulis kembali $- 1 i$ sebagai $- i$ .

$1 + 3 i - 3 - i$

Langkah 2.2

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$- 2 + 3 i - i$

Langkah 2.2.2

Kurangi $i$ dengan $3 i$ .

$- 2 + 2 i$

Langkah 3

Ini adalah bentuk trigonometri dari bilangan kompleks di mana $| z |$ adalah modulusnya dan $θ$ adalah sudut yang dibuat di bidang kompleks.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Langkah 4

Modulus bilangan kompleks adalah jarak dari asal pada bidang kompleks.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ di mana $z = a + b i$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai aktual dari $a = - 2$ dan $b = 2$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Langkah 6

Temukan $| z |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{4 + {(- 2)}^{2}}$

Langkah 6.2

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{4 + 4}$

Langkah 6.3

Tambahkan $4$ dan $4$ .

$| z | = \sqrt{8}$

Langkah 6.4

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$| z | = \sqrt{4 (2)}$

Langkah 6.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Langkah 6.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| z | = 2 \sqrt{2}$

Langkah 7

Sudut dari titik pada bidang kompleks adalah tangen balikan dari bagian kompleks per bagian riil.

$θ = \arctan (\frac{2}{- 2})$

Langkah 8

Karena tangen balikan $\frac{2}{- 2}$ menghasilkan sudut di kuadran kedua, nilai dari sudut tersebut adalah $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Langkah 9

Substitusikan nilai-nilai dari $θ = \frac{3 π}{4}$ dan $| z | = 2 \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$