Trigonometri Contoh

$5 \cos (θ) = 5 \cos (2 θ)$

Langkah 1

Kurangkan $5 \cos (2 θ)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$5 \cos (θ) - 5 \cos (2 θ) = 0$

Langkah 2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan identitas sudut ganda untuk mengubah $\cos (2 x)$ menjadi $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$5 \cos (θ) - 5 (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 0$

Langkah 2.2

Terapkan sifat distributif.

$5 \cos (θ) - 5 (2 \cos^{2} (θ)) - 5 \cdot - 1 = 0$

Langkah 2.3

Kalikan $2$ dengan $- 5$ .

$5 \cos (θ) - 10 \cos^{2} (θ) - 5 \cdot - 1 = 0$

Langkah 2.4

Kalikan $- 5$ dengan $- 1$ .

$5 \cos (θ) - 10 \cos^{2} (θ) + 5 = 0$

Langkah 3

Faktorkan $5 \cos (θ) - 10 \cos^{2} (θ) + 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan $5$ dari $5 \cos (θ) - 10 \cos^{2} (θ) + 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $5$ dari $5 \cos (θ)$ .

$5 \cos (θ) - 10 \cos^{2} (θ) + 5 = 0$

Langkah 3.1.2

Faktorkan $5$ dari $- 10 \cos^{2} (θ)$ .

$5 \cos (θ) + 5 (- 2 \cos^{2} (θ)) + 5 = 0$

Langkah 3.1.3

Faktorkan $5$ dari $5$ .

$5 \cos (θ) + 5 (- 2 \cos^{2} (θ)) + 5 (1) = 0$

Langkah 3.1.4

Faktorkan $5$ dari $5 \cos (θ) + 5 (- 2 \cos^{2} (θ))$ .

$5 (\cos (θ) - 2 \cos^{2} (θ)) + 5 (1) = 0$

Langkah 3.1.5

Faktorkan $5$ dari $5 (\cos (θ) - 2 \cos^{2} (θ)) + 5 (1)$ .

$5 (\cos (θ) - 2 \cos^{2} (θ) + 1) = 0$

Langkah 3.2

Biarkan $u = \cos (θ)$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $\cos (θ)$ .

$5 (u - 2 u^{2} + 1) = 0$

Langkah 3.3

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Susun kembali suku-suku.

$5 (- 2 u^{2} + u + 1) = 0$

Langkah 3.3.2

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ dan yang jumlahnya adalah $b = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$5 (- 2 u^{2} + 1 u + 1) = 0$

Langkah 3.3.2.2

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1$ ditambah $2$

$5 (- 2 u^{2} + (- 1 + 2) u + 1) = 0$

Langkah 3.3.2.3

Terapkan sifat distributif.

$5 (- 2 u^{2} - 1 u + 2 u + 1) = 0$

Langkah 3.3.3

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$5 ((- 2 u^{2} - 1 u) + 2 u + 1) = 0$

Langkah 3.3.3.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$5 (u (- 2 u - 1) - (- 2 u - 1)) = 0$

Langkah 3.3.4

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $- 2 u - 1$ .

$5 ((- 2 u - 1) (u - 1)) = 0$

Langkah 3.4

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (θ)$ .

$5 ((- 2 \cos (θ) - 1) (\cos (θ) - 1)) = 0$

Langkah 3.4.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$5 (- 2 \cos (θ) - 1) (\cos (θ) - 1) = 0$

Langkah 4

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$- 2 \cos (θ) - 1 = 0$

$\cos (θ) - 1 = 0$

Langkah 5

Atur $- 2 \cos (θ) - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur $- 2 \cos (θ) - 1$ sama dengan $0$ .

$- 2 \cos (θ) - 1 = 0$

Langkah 5.2

Selesaikan $- 2 \cos (θ) - 1 = 0$ untuk $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$- 2 \cos (θ) = 1$

Langkah 5.2.2

Bagi setiap suku pada $- 2 \cos (θ) = 1$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- 2 \cos (θ) = 1$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Langkah 5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 \cos (θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Langkah 5.2.2.2.1.2

Bagilah $\cos (θ)$ dengan $1$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{- 2}$

Langkah 5.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\cos (θ) = - \frac{1}{2}$

Langkah 5.2.3

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $θ$ dari dalam kosinus.

$θ = \arccos (- \frac{1}{2})$

Langkah 5.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Nilai eksak dari $\arccos (- \frac{1}{2})$ adalah $\frac{2 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Langkah 5.2.5

Fungsi kosinus negatif di kuadran kedua dan ketiga. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menghitung penyelesaian di kuadran ketiga.

$θ = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Langkah 5.2.6

Sederhanakan $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Langkah 5.2.6.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Langkah 5.2.6.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Langkah 5.2.6.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.3.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$θ = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Langkah 5.2.6.3.2

Kurangi $2 π$ dengan $6 π$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Langkah 5.2.7

Tentukan periode dari $\cos (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 5.2.7.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 5.2.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 5.2.7.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 5.2.8

Periode dari fungsi $\cos (θ)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 6

Atur $\cos (θ) - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur $\cos (θ) - 1$ sama dengan $0$ .

$\cos (θ) - 1 = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan $\cos (θ) - 1 = 0$ untuk $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$\cos (θ) = 1$

Langkah 6.2.2

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $θ$ dari dalam kosinus.

$θ = \arccos (1)$

Langkah 6.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Nilai eksak dari $\arccos (1)$ adalah $0$ .

$θ = 0$

Langkah 6.2.4

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$θ = 2 π - 0$

Langkah 6.2.5

Kurangi $0$ dengan $2 π$ .

$θ = 2 π$

Langkah 6.2.6

Tentukan periode dari $\cos (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.6.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 6.2.6.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 6.2.6.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 6.2.6.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 6.2.7

Periode dari fungsi $\cos (θ)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $5 (- 2 \cos (θ) - 1) (\cos (θ) - 1) = 0$ benar.

$θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 8

Gabungkan jawabannya.

$θ = \frac{2 π n}{3}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$