Trigonometri Contoh

$\tan (3 x - \frac{π}{2}) > 1$

Langkah 1

Ambil tangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam tangen.

$3 x - \frac{π}{2} > \arctan (1)$

Langkah 2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Nilai eksak dari $\arctan (1)$ adalah $\frac{π}{4}$ .

$3 x - \frac{π}{2} > \frac{π}{4}$

Langkah 3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tambahkan $\frac{π}{2}$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$3 x > \frac{π}{4} + \frac{π}{2}$

Langkah 3.2

Untuk menuliskan $\frac{π}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$3 x > \frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $4$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan $\frac{π}{2}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$3 x > \frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$3 x > \frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

Langkah 3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$3 x > \frac{π + π \cdot 2}{4}$

Langkah 3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $π$ .

$3 x > \frac{π + 2 \cdot π}{4}$

Langkah 3.5.2

Tambahkan $π$ dan $2 π$ .

$3 x > \frac{3 π}{4}$

Langkah 4

Bagi setiap suku pada $3 x > \frac{3 π}{4}$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Bagilah setiap suku di $3 x > \frac{3 π}{4}$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} > \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} > \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Langkah 4.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x > \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Langkah 4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x > \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Langkah 4.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $3 π$ .

$x > \frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Langkah 4.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x > \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Langkah 4.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x > \frac{π}{4}$

Langkah 5

Fungsi tangen positif di kuadran pertama dan ketiga. Untuk mencari penyelesaian kedua, tambahkan sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaiannya di kuadran keempat.

$3 x - \frac{π}{2} = π + \frac{π}{4}$

Langkah 6

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan $π + \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$3 x - \frac{π}{2} = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Langkah 6.1.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{4}{4}$ .

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Langkah 6.1.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Langkah 6.1.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $π$ .

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Langkah 6.1.3.2

Tambahkan $4 π$ dan $π$ .

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{5 π}{4}$

Langkah 6.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tambahkan $\frac{π}{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$3 x = \frac{5 π}{4} + \frac{π}{2}$

Langkah 6.2.2

Untuk menuliskan $\frac{π}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{5 π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 6.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $4$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Kalikan $\frac{π}{2}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{5 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Langkah 6.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$3 x = \frac{5 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

Langkah 6.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$3 x = \frac{5 π + π \cdot 2}{4}$

Langkah 6.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.5.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $π$ .

$3 x = \frac{5 π + 2 \cdot π}{4}$

Langkah 6.2.5.2

Tambahkan $5 π$ dan $2 π$ .

$3 x = \frac{7 π}{4}$

Langkah 6.3

Bagi setiap suku pada $3 x = \frac{7 π}{4}$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Bagilah setiap suku di $3 x = \frac{7 π}{4}$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{4}}{3}$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{4}}{3}$

Langkah 6.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{4}}{3}$

Langkah 6.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Langkah 6.3.3.2

Kalikan $\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.2.1

Kalikan $\frac{7 π}{4}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{7 π}{4 \cdot 3}$

Langkah 6.3.3.2.2

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Langkah 7

Tentukan periode dari $\tan (3 x - \frac{π}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Langkah 7.2

Ganti $b$ dengan $3$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{π}{| 3 |}$

Langkah 7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $3$ adalah $3$ .

$\frac{π}{3}$

Langkah 8

Periode dari fungsi $\tan (3 x - \frac{π}{2})$ adalah $\frac{π}{3}$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $\frac{π}{3}$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}, \frac{7 π}{12} + \frac{π n}{3}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 9

Gabungkan jawabannya.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 10

Tentukan domain dari $\tan (3 x - \frac{π}{2}) - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Atur argumen dalam $\tan (3 x - \frac{π}{2})$ agar sama dengan $\frac{π}{2} + π n$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{π}{2} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 10.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1.1

Tambahkan $\frac{π}{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$3 x = \frac{π}{2} + π n + \frac{π}{2}$

Langkah 10.2.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$3 x = π n + \frac{π + π}{2}$

Langkah 10.2.1.3

Tambahkan $π$ dan $π$ .

$3 x = π n + \frac{2 π}{2}$

Langkah 10.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 x = π n + \frac{2 π}{2}$

Langkah 10.2.1.4.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$3 x = π n + π$

Langkah 10.2.2

Bagi setiap suku pada $3 x = π n + π$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1

Bagilah setiap suku di $3 x = π n + π$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{π n}{3} + \frac{π}{3}$

Langkah 10.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{π n}{3} + \frac{π}{3}$

Langkah 10.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{π n}{3} + \frac{π}{3}$

Langkah 10.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

${x | x \neq \frac{π n}{3} + \frac{π}{3}}$ $n$ , untuk bilangan bulat apa pun $n$

Langkah 11

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$

$\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$

Langkah 12

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Uji nilai pada interval $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Pilih nilai pada interval $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 1$

Langkah 12.1.2

Ganti $x$ dengan $1$ pada pertidaksamaan asal.

$\tan (3 (1) - \frac{π}{2}) > 1$

Langkah 12.1.3

Sisi kiri $7.01525255$ lebih besar dari sisi kanan $1$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 12.2

Uji nilai pada interval $\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Pilih nilai pada interval $\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 1.44$

Langkah 12.2.2

Ganti $x$ dengan $1.44$ pada pertidaksamaan asal.

$\tan (3 (1.44) - \frac{π}{2}) > 1$

Langkah 12.2.3

Sisi kiri $- 0.4138503$ tidak lebih besar dari sisi kanan $1$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 12.3

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ Benar

$\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$ Salah

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ Benar

$\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$ Salah

Langkah 13

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$\frac{π}{4} + \frac{π n}{3} < x < \frac{π}{3} + \frac{π n}{3}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 14

Konversikan pertidaksamaan ke notasi interval.

$(\frac{π}{4} + \frac{π n}{3}, \frac{π}{3} + \frac{π n}{3})$

Langkah 15