Trigonometri Contoh

$\sin (\frac{x}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$\frac{x}{3} < \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Langkah 2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ adalah $\frac{π}{3}$ .

$\frac{x}{3} < \frac{π}{3}$

Langkah 3

Karena pernyataan pada setiap sisi persamaan mempunyai penyebut yang sama, maka pembilangnya harus sama.

$x < π$

Langkah 4

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$\frac{x}{3} = π - \frac{π}{3}$

Langkah 5

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 (π - \frac{π}{3})$

Langkah 5.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{x}{3} = 3 (π - \frac{π}{3})$

Langkah 5.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = 3 (π - \frac{π}{3})$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan $3 (π - \frac{π}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$x = 3 (π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3})$

Langkah 5.2.2.1.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$x = 3 (\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3})$

Langkah 5.2.2.1.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = 3 \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Langkah 5.2.2.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = 3 \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Langkah 5.2.2.1.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = π \cdot 3 - π$

Langkah 5.2.2.1.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $π$ .

$x = 3 π - π$

Langkah 5.2.2.1.4

Kurangi $π$ dengan $3 π$ .

$x = 2 π$

Langkah 6

Tentukan periode dari $\sin (\frac{x}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 6.2

Ganti $b$ dengan $\frac{1}{3}$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Langkah 6.3

$\frac{1}{3}$ mendekati $0.\overline{3}$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Langkah 6.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$2 π \cdot 3$

Langkah 6.5

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$6 π$

Langkah 7

Periode dari fungsi $\sin (\frac{x}{3})$ adalah $6 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $6 π$ radian di kedua arah.

$x = π + 6 π n, 2 π + 6 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 8

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$π < x < 2 π$

$2 π < x < 7 π$

$7 π < x < 8 π$

Langkah 9

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Uji nilai pada interval $π < x < 2 π$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Pilih nilai pada interval $π < x < 2 π$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 5$

Langkah 9.1.2

Ganti $x$ dengan $5$ pada pertidaksamaan asal.

$\sin (\frac{5}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 9.1.3

Sisi kiri $0.99540795$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $0.8660254$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 9.2

Uji nilai pada interval $2 π < x < 7 π$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Pilih nilai pada interval $2 π < x < 7 π$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 9$

Langkah 9.2.2

Ganti $x$ dengan $9$ pada pertidaksamaan asal.

$\sin (\frac{9}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 9.2.3

Sisi kiri $0.14112$ lebih kecil dari sisi kanan $0.8660254$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 9.3

Uji nilai pada interval $7 π < x < 8 π$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Pilih nilai pada interval $7 π < x < 8 π$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 24$

Langkah 9.3.2

Ganti $x$ dengan $24$ pada pertidaksamaan asal.

$\sin (\frac{24}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 9.3.3

Sisi kiri $0.98935824$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $0.8660254$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 9.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$π < x < 2 π$ Salah

$2 π < x < 7 π$ Benar

$7 π < x < 8 π$ Salah

$π < x < 2 π$ Salah

$2 π < x < 7 π$ Benar

$7 π < x < 8 π$ Salah

Langkah 10

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$2 π + 6 π n < x < 7 π + 6 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 11

Konversikan pertidaksamaan ke notasi interval.

$(2 π + 6 π n, 7 π + 6 π n)$

Langkah 12