Trigonometri Contoh

\frac{1 - cos (x)}{1 + cos (x)} = {(cot (x) - csc (x))}^{2}

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = {(\cot (x) - \csc (x))}^{2}$

Langkah 1

Mulai dari sisi kanan.

${(\cot (x) - \csc (x))}^{2}$

Langkah 2

Konversikan ke sinus dan kosinus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis

$\cot (x)$ dalam sinus dan kosinus menggunakan identitas hasil bagi.

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \csc (x))}^{2}$

Langkah 2.2

Terapkan identitas timbal balik ke

$\csc (x)$ .

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tulis kembali

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ sebagai

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})$ .

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})$

Langkah 2.3.2

Perluas

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})$

Langkah 2.3.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})$

Langkah 2.3.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.1

Kalikan

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.1.1

Kalikan

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ dengan

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Langkah 2.3.3.1.1.2

Naikkan

$\cos (x)$ menjadi pangkat

$1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Langkah 2.3.3.1.1.3

Naikkan

$\cos (x)$ menjadi pangkat

$1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Langkah 2.3.3.1.1.4

Gunakan kaidah pangkat

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Langkah 2.3.3.1.1.5

Tambahkan

$1$ dan

$1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Langkah 2.3.3.1.1.6

Naikkan

$\sin (x)$ menjadi pangkat

$1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Langkah 2.3.3.1.1.7

Naikkan

$\sin (x)$ menjadi pangkat

$1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Langkah 2.3.3.1.1.8

Gunakan kaidah pangkat

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Langkah 2.3.3.1.1.9

Tambahkan

$1$ dan

$1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Langkah 2.3.3.1.2

Kalikan

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.2.1

Kalikan

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ dengan

$\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Langkah 2.3.3.1.2.2

Naikkan

$\sin (x)$ menjadi pangkat

$1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Langkah 2.3.3.1.2.3

Naikkan

$\sin (x)$ menjadi pangkat

$1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Langkah 2.3.3.1.2.4

Gunakan kaidah pangkat

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Langkah 2.3.3.1.2.5

Tambahkan

$1$ dan

$1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Langkah 2.3.3.1.3

Kalikan

$- \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.3.1

Kalikan

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ dengan

$\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Langkah 2.3.3.1.3.2

Naikkan

$\sin (x)$ menjadi pangkat

$1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Langkah 2.3.3.1.3.3

Naikkan

$\sin (x)$ menjadi pangkat

$1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Langkah 2.3.3.1.3.4

Gunakan kaidah pangkat

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Langkah 2.3.3.1.3.5

Tambahkan

$1$ dan

$1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Langkah 2.3.3.1.4

Kalikan

$- \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.4.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + 1 \frac{1}{\sin (x)} \frac{1}{\sin (x)}$

Langkah 2.3.3.1.4.2

Kalikan

$\frac{1}{\sin (x)}$ dengan

$1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Langkah 2.3.3.1.4.3

Kalikan

$\frac{1}{\sin (x)}$ dengan

$\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x) \sin (x)}$

Langkah 2.3.3.1.4.4

Naikkan

$\sin (x)$ menjadi pangkat

$1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}$

Langkah 2.3.3.1.4.5

Naikkan

$\sin (x)$ menjadi pangkat

$1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}$

Langkah 2.3.3.1.4.6

Gunakan kaidah pangkat

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

Langkah 2.3.3.1.4.7

Tambahkan

$1$ dan

$1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Langkah 2.3.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{{\cos (x)}^{2} - \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Langkah 2.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{{\cos (x)}^{2} - \cos (x) - \cos (x) + 1}{{\sin (x)}^{2}}$

Langkah 2.3.5

Kurangi

$\cos (x)$ dengan

$- \cos (x)$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2} - 2 \cos (x) + 1}{{\sin (x)}^{2}}$

Langkah 2.3.6

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

$\frac{{(\cos (x) - 1)}^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tulis kembali

${(\cos (x) - 1)}^{2}$ sebagai

$(\cos (x) - 1) (\cos (x) - 1)$ .

$\frac{(\cos (x) - 1) (\cos (x) - 1)}{\sin^{2} (x)}$

Langkah 2.4.2

Perluas

$(\cos (x) - 1) (\cos (x) - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\cos (x) (\cos (x) - 1) - 1 (\cos (x) - 1)}{\sin^{2} (x)}$

Langkah 2.4.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 - 1 (\cos (x) - 1)}{\sin^{2} (x)}$

Langkah 2.4.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 - 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1}{\sin^{2} (x)}$

Langkah 2.4.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

$\frac{\cos^{2} (x) - 2 \cos (x) + 1}{\sin^{2} (x)}$

Langkah 3

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

$\frac{{(\cos (x) - 1)}^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Langkah 4

Terapkan identitas Pythagoras secara terbalik.

$\frac{{(\cos (x) - 1)}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Tulis kembali

$1$ sebagai

$1^{2}$ .

$\frac{{(\cos (x) - 1)}^{2}}{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

Langkah 5.1.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana

$a = 1$ dan

$b = \cos (x)$ .

$\frac{{(\cos (x) - 1)}^{2}}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Langkah 5.2

Hapus faktor persekutuan dari

${(\cos (x) - 1)}^{2}$ dan

$1 - \cos (x)$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Langkah 6

Karena kedua sisi telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah sebuah identitas.

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = {(\cot (x) - \csc (x))}^{2}$ adalah identitas