Trigonometri Contoh

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1} = \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

Langkah 1

Mulai dari sisi kanan.

$\tan^{2} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

Langkah 2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali $\tan (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

Langkah 2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

Langkah 2.3

Tulis kembali $\tan (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sec (x) + \sec^{2} (x)$

Langkah 2.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \sec (x) + \sec^{2} (x)$

Langkah 2.5

Tulis kembali $\sec (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \sec^{2} (x)$

Langkah 2.6

Kalikan $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Kalikan $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ dengan $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \sec^{2} (x)$

Langkah 2.6.2

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \sec^{2} (x)$

Langkah 2.6.3

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \sec^{2} (x)$

Langkah 2.6.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \sec^{2} (x)$

Langkah 2.6.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sec^{2} (x)$

Langkah 2.7

Tulis kembali $\sec (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Langkah 2.8

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 2.9

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Faktorkan $\sin (x)$ dari $\sin^{2} (x) + 2 \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Faktorkan $\sin (x)$ dari $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x) + 2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.1.2

Faktorkan $\sin (x)$ dari $2 \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.1.3

Faktorkan $\sin (x)$ dari $\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2$ .

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + 2)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + 2) + 1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.3.2

Kalikan $\sin (x) \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.3.2.2

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.3.2.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.3.2.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.3.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sin (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) + 1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.3.4

Tulis kembali $\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Biarkan $u = \sin (x)$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $\sin (x)$ .

$\frac{u^{2} + 2 u + 1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.3.4.2

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.2.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{u^{2} + 2 u + 1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.3.4.2.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Langkah 4.3.4.2.3

Tulis kembali polinomialnya.

$\frac{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.3.4.2.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , di mana $a = u$ dan $b = 1$ .

$\frac{{(u + 1)}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 4.3.4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sin (x)$ .

$\frac{{(\sin (x) + 1)}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 5

Terapkan identitas Pythagoras secara terbalik.

$\frac{{(\sin (x) + 1)}^{2}}{1 - \sin^{2} (x)}$

Langkah 6

Sederhanakan penyebutnya.

$\frac{{(\sin (x) + 1)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Langkah 7

Hapus faktor persekutuan dari ${(1 + \sin (x))}^{2}$ dan $1 + \sin (x)$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Langkah 8

Tulis kembali $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ sebagai $\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1}$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1}$

Langkah 9

Karena kedua sisi telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah sebuah identitas.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1} = \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$ adalah identitas