Trigonometri Contoh

$\cos (105) \cos (75)$

Langkah 1

Nilai eksak dari $\cos (105)$ adalah $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$- \cos (75) \cos (75)$

Langkah 1.2

Bagi $75$ menjadi dua sudut di mana nilai dari enam fungsi trigonometrinya diketahui.

$- \cos (30 + 45) \cos (75)$

Langkah 1.3

Terapkan identitas penjumlahan sudut $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$- (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \cos (75)$

Langkah 1.4

Nilai eksak dari $\cos (30)$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \cos (75)$

Langkah 1.5

Nilai eksak dari $\cos (45)$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45)) \cos (75)$

Langkah 1.6

Nilai eksak dari $\sin (30)$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (45)) \cos (75)$

Langkah 1.7

Nilai eksak dari $\sin (45)$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (75)$

Langkah 1.8

Sederhanakan $- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1.1

Kalikan $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1.1.1

Kalikan $\frac{\sqrt{3}}{2}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (75)$

Langkah 1.8.1.1.2

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$- (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (75)$

Langkah 1.8.1.1.3

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (75)$

Langkah 1.8.1.1.4

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (75)$

Langkah 1.8.1.2

Kalikan $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1.2.1

Kalikan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (75)$

Langkah 1.8.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (75)$

Langkah 1.8.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (75)$

Langkah 2

Nilai eksak dari $\cos (75)$ adalah $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Bagi $75$ menjadi dua sudut di mana nilai dari enam fungsi trigonometrinya diketahui.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (30 + 45)$

Langkah 2.2

Terapkan identitas penjumlahan sudut $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45))$

Langkah 2.3

Nilai eksak dari $\cos (30)$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45) - \sin (30) \sin (45))$

Langkah 2.4

Nilai eksak dari $\cos (45)$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45))$

Langkah 2.5

Nilai eksak dari $\sin (30)$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (45))$

Langkah 2.6

Nilai eksak dari $\sin (45)$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 2.7

Sederhanakan $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1.1

Kalikan $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1.1.1

Kalikan $\frac{\sqrt{3}}{2}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 2.7.1.1.2

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 2.7.1.1.3

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 2.7.1.1.4

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 2.7.1.2

Kalikan $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1.2.1

Kalikan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Langkah 2.7.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Langkah 2.7.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Langkah 3

Kalikan $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ dengan $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$- \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

Langkah 3.2

Naikkan $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

Langkah 3.3

Naikkan $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1} {(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1}}{4 \cdot 4}$

Langkah 3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1 + 1}}{4 \cdot 4}$

Langkah 3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{4 \cdot 4}$

Langkah 3.6

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$- \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{16}$

Langkah 4

Tulis kembali ${(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}$ sebagai $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ .

$- \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Langkah 5

Perluas $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Langkah 5.2

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Langkah 5.3

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Langkah 6

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$- \frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Langkah 6.1.2

Kalikan $6$ dengan $6$ .

$- \frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Langkah 6.1.3

Tulis kembali $36$ sebagai $6^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Langkah 6.1.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$- \frac{6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Langkah 6.1.5

Kalikan $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.5.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$- \frac{6 - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Langkah 6.1.5.2

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$- \frac{6 - \sqrt{12} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Langkah 6.1.6

Tulis kembali $12$ sebagai $2^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.6.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$- \frac{6 - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Langkah 6.1.6.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$- \frac{6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Langkah 6.1.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$- \frac{6 - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Langkah 6.1.8

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Langkah 6.1.9

Kalikan $- \sqrt{2} \sqrt{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.9.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Langkah 6.1.9.2

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Langkah 6.1.10

Tulis kembali $12$ sebagai $2^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.10.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Langkah 6.1.10.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Langkah 6.1.11

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Langkah 6.1.12

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Langkah 6.1.13

Kalikan $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.13.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Langkah 6.1.13.2

Kalikan $\sqrt{2}$ dengan $1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Langkah 6.1.13.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{16}$

Langkah 6.1.13.4

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{16}$

Langkah 6.1.13.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{16}$

Langkah 6.1.13.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{2}}{16}$

Langkah 6.1.14

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.14.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{16}$

Langkah 6.1.14.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{16}$

Langkah 6.1.14.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Langkah 6.1.14.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.14.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Langkah 6.1.14.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{1}}{16}$

Langkah 6.1.14.5

Evaluasi eksponennya.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2}{16}$

Langkah 6.2

Tambahkan $6$ dan $2$ .

$- \frac{8 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{16}$

Langkah 6.3

Kurangi $2 \sqrt{3}$ dengan $- 2 \sqrt{3}$ .

$- \frac{8 - 4 \sqrt{3}}{16}$

Langkah 7

Hapus faktor persekutuan dari $8 - 4 \sqrt{3}$ dan $16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$- \frac{4 (2) - 4 \sqrt{3}}{16}$

Langkah 7.2

Faktorkan $4$ dari $- 4 \sqrt{3}$ .

$- \frac{4 (2) + 4 (- \sqrt{3})}{16}$

Langkah 7.3

Faktorkan $4$ dari $4 (2) + 4 (- \sqrt{3})$ .

$- \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{16}$

Langkah 7.4

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Faktorkan $4$ dari $16$ .

$- \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Langkah 7.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Langkah 7.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

Bentuk Desimal:

$- 0.06698729 \dots$