Trigonometri Contoh

$\cot^{2} (x) + 3 \csc (x) = - 3$

Langkah 1

Ganti $\cot^{2} (x)$ dengan $\csc^{2} (x) - 1$ berdasarkan identitas $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\csc^{2} (x) - 1) + 3 \csc (x) = - 3$

Langkah 2

Susun ulang polinomial tersebut.

$\csc^{2} (x) + 3 \csc (x) - 1 = - 3$

Langkah 3

Substitusikan $u$ untuk $\csc (x)$ .

${(u)}^{2} + 3 (u) - 1 = - 3$

Langkah 4

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$u^{2} + 3 u - 1 + 3 = 0$

Langkah 5

Tambahkan $- 1$ dan $3$ .

$u^{2} + 3 u + 2 = 0$

Langkah 6

Faktorkan $u^{2} + 3 u + 2$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $2$ dan jumlahnya $3$ .

$1, 2$

Langkah 6.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(u + 1) (u + 2) = 0$

Langkah 7

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$u + 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Langkah 8

Atur $u + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Atur $u + 1$ sama dengan $0$ .

$u + 1 = 0$

Langkah 8.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$u = - 1$

Langkah 9

Atur $u + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Atur $u + 2$ sama dengan $0$ .

$u + 2 = 0$

Langkah 9.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$u = - 2$

Langkah 10

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(u + 1) (u + 2) = 0$ benar.

$u = - 1, - 2$

Langkah 11

Substitusikan $\csc (x)$ untuk $u$ .

$\csc (x) = - 1, - 2$

Langkah 12

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $x$ .

$\csc (x) = - 1$

$\csc (x) = - 2$

Langkah 13

Selesaikan $x$ dalam $\csc (x) = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Ambil kosekan balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosekan.

$x = arccsc (- 1)$

Langkah 13.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Nilai eksak dari $arccsc (- 1)$ adalah $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Langkah 13.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Langkah 13.4

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Langkah 13.4.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{3 π}{2}$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 13.5

Tentukan periode dari $\csc (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 13.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 13.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 13.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 13.6

Tambahkan $2 π$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.6.1

Tambahkan $2 π$ ke $- \frac{π}{2}$ untuk menentukan sudut positif.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Langkah 13.6.2

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 13.6.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.6.3.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 13.6.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 13.6.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.6.4.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Langkah 13.6.4.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Langkah 13.6.5

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 13.7

Periode dari fungsi $\csc (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 14

Selesaikan $x$ dalam $\csc (x) = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Ambil kosekan balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosekan.

$x = arccsc (- 2)$

Langkah 14.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Nilai eksak dari $arccsc (- 2)$ adalah $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Langkah 14.3

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Langkah 14.4

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Langkah 14.4.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{7 π}{6}$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Langkah 14.5

Tentukan periode dari $\csc (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 14.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 14.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 14.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 14.6

Tambahkan $2 π$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.6.1

Tambahkan $2 π$ ke $- \frac{π}{6}$ untuk menentukan sudut positif.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Langkah 14.6.2

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 14.6.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.6.3.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 14.6.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Langkah 14.6.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.6.4.1

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Langkah 14.6.4.2

Kurangi $π$ dengan $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Langkah 14.6.5

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$x = \frac{11 π}{6}$

Langkah 14.7

Periode dari fungsi $\csc (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 15

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 16

Gabungkan $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ dan $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ menjadi $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ .

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$