Trigonometri Contoh

$\sqrt{\cos (x)} = 2 \cos (x) - 1$

Langkah 1

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{\cos (x)}}^{2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Langkah 2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{\cos (x)}$ sebagai ${\cos (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\cos (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Langkah 2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan ${({\cos (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({\cos (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\cos (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Langkah 2.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${\cos (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Langkah 2.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\cos^{1} (x) = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Langkah 2.2.1.2

Sederhanakan.

$\cos (x) = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

Langkah 2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan ${(2 \cos (x) - 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali ${(2 \cos (x) - 1)}^{2}$ sebagai $(2 \cos (x) - 1) (2 \cos (x) - 1)$ .

$\cos (x) = (2 \cos (x) - 1) (2 \cos (x) - 1)$

Langkah 2.3.1.2

Perluas $(2 \cos (x) - 1) (2 \cos (x) - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\cos (x) = 2 \cos (x) (2 \cos (x) - 1) - 1 (2 \cos (x) - 1)$

Langkah 2.3.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\cos (x) = 2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x) - 1)$

Langkah 2.3.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\cos (x) = 2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.3.1.1

Kalikan $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.3.1.1.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\cos (x) = 4 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.3.1.1.2

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\cos (x) = 4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.3.1.1.3

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\cos (x) = 4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.3.1.1.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\cos (x) = 4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.3.1.1.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.3.1.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 2 \cos (x) - 1 \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.3.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 2 \cos (x) + 1$

Langkah 2.3.1.3.2

Kurangi $2 \cos (x)$ dengan $- 2 \cos (x)$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) + 1$

Langkah 3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan semua pernyataan ke sisi kiri dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Kurangkan $4 \cos^{2} (x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\cos (x) - 4 \cos^{2} (x) = - 4 \cos (x) + 1$

Langkah 3.1.2

Tambahkan $4 \cos (x)$ ke kedua sisi persamaan.

$\cos (x) - 4 \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) = 1$

Langkah 3.1.3

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\cos (x) - 4 \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) - 1 = 0$

Langkah 3.2

Tambahkan $\cos (x)$ dan $4 \cos (x)$ .

$5 \cos (x) - 4 \cos^{2} (x) - 1 = 0$

Langkah 3.3

Faktorkan $5 \cos (x) - 4 \cos^{2} (x) - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Biarkan $u = \cos (x)$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $\cos (x)$ .

$5 u - 4 u^{2} - 1 = 0$

Langkah 3.3.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Susun kembali suku-suku.

$- 4 u^{2} + 5 u - 1 = 0$

Langkah 3.3.2.2

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = - 4 \cdot - 1 = 4$ dan yang jumlahnya adalah $b = 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Faktorkan $5$ dari $5 u$ .

$- 4 u^{2} + 5 (u) - 1 = 0$

Langkah 3.3.2.2.2

Tulis kembali $5$ sebagai $1$ ditambah $4$

$- 4 u^{2} + (1 + 4) u - 1 = 0$

Langkah 3.3.2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$- 4 u^{2} + 1 u + 4 u - 1 = 0$

Langkah 3.3.2.2.4

Kalikan $u$ dengan $1$ .

$- 4 u^{2} + u + 4 u - 1 = 0$

Langkah 3.3.2.3

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.3.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(- 4 u^{2} + u) + 4 u - 1 = 0$

Langkah 3.3.2.3.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$u (- 4 u + 1) - (- 4 u + 1) = 0$

Langkah 3.3.2.4

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $- 4 u + 1$ .

$(- 4 u + 1) (u - 1) = 0$

Langkah 3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (x)$ .

$(- 4 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Langkah 3.4

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$- 4 \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Langkah 3.5

Atur $- 4 \cos (x) + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Atur $- 4 \cos (x) + 1$ sama dengan $0$ .

$- 4 \cos (x) + 1 = 0$

Langkah 3.5.2

Selesaikan $- 4 \cos (x) + 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 4 \cos (x) = - 1$

Langkah 3.5.2.2

Bagi setiap suku pada $- 4 \cos (x) = - 1$ dengan $- 4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- 4 \cos (x) = - 1$ dengan $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Langkah 3.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Langkah 3.5.2.2.2.1.2

Bagilah $\cos (x)$ dengan $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 4}$

Langkah 3.5.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\cos (x) = \frac{1}{4}$

Langkah 3.5.2.3

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (\frac{1}{4})$

Langkah 3.5.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.4.1

Evaluasi $\arccos (\frac{1}{4})$ .

$x = 1.31811607$

Langkah 3.5.2.5

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

Langkah 3.5.2.6

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.6.1

Hilangkan tanda kurung.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

Langkah 3.5.2.6.2

Sederhanakan $2 (3.14159265) - 1.31811607$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.6.2.1

Kalikan $2$ dengan $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.31811607$

Langkah 3.5.2.6.2.2

Kurangi $1.31811607$ dengan $6.2831853$ .

$x = 4.96506923$

Langkah 3.5.2.7

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 3.5.2.7.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 3.5.2.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 3.5.2.7.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 3.5.2.8

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3.6

Atur $\cos (x) - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Atur $\cos (x) - 1$ sama dengan $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Langkah 3.6.2

Selesaikan $\cos (x) - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$\cos (x) = 1$

Langkah 3.6.2.2

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (1)$

Langkah 3.6.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.3.1

Nilai eksak dari $\arccos (1)$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 3.6.2.4

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - 0$

Langkah 3.6.2.5

Kurangi $0$ dengan $2 π$ .

$x = 2 π$

Langkah 3.6.2.6

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.6.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 3.6.2.6.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 3.6.2.6.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 3.6.2.6.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 3.6.2.7

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3.7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(- 4 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ benar.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4

Gabungkan $2 π n$ dan $2 π + 2 π n$ menjadi $2 π n$ .

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 5

Meniadakan penyelesaian yang tidak membuat $\sqrt{\cos (x)} = 2 \cos (x) - 1$ benar.

$x = 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$