Trigonometri Contoh

$2 \sin^{2} (z) - 5 \cos (z) + 1 = 0$

Langkah 1

Ganti $2 \sin^{2} (z)$ dengan $2 (1 - \cos^{2} (z))$ berdasarkan identitas $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \cos^{2} (z)) - 5 \cos (z) + 1 = 0$

Langkah 2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Terapkan sifat distributif.

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (z)) - 5 \cos (z) + 1 = 0$

Langkah 2.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + 2 (- \cos^{2} (z)) - 5 \cos (z) + 1 = 0$

Langkah 2.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$2 - 2 \cos^{2} (z) - 5 \cos (z) + 1 = 0$

Langkah 3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$- 2 \cos^{2} (z) - 5 \cos (z) + 3 = 0$

Langkah 4

Substitusikan $u$ untuk $\cos (z)$ .

$- 2 {(u)}^{2} - 5 u + 3 = 0$

Langkah 5

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 u^{2} - 5 u + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 u^{2}$ .

$- (2 u^{2}) - 5 u + 3 = 0$

Langkah 5.1.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 5 u$ .

$- (2 u^{2}) - (5 u) + 3 = 0$

Langkah 5.1.3

Tulis kembali $3$ sebagai $- 1 (- 3)$ .

$- (2 u^{2}) - (5 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Langkah 5.1.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 u^{2}) - (5 u)$ .

$- (2 u^{2} + 5 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Langkah 5.1.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 u^{2} + 5 u) - 1 (- 3)$ .

$- (2 u^{2} + 5 u - 3) = 0$

Langkah 5.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ dan yang jumlahnya adalah $b = 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Faktorkan $5$ dari $5 u$ .

$- (2 u^{2} + 5 u - 3) = 0$

Langkah 5.2.1.1.2

Tulis kembali $5$ sebagai $- 1$ ditambah $6$

$- (2 u^{2} + (- 1 + 6) u - 3) = 0$

Langkah 5.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$- (2 u^{2} - 1 u + 6 u - 3) = 0$

Langkah 5.2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$- (2 u^{2} - 1 u + 6 u - 3) = 0$

Langkah 5.2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$- (u (2 u - 1) + 3 (2 u - 1)) = 0$

Langkah 5.2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 u - 1$ .

$- ((2 u - 1) (u + 3)) = 0$

Langkah 5.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$- (2 u - 1) (u + 3) = 0$

Langkah 6

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 3 = 0$

Langkah 7

Atur $2 u - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Atur $2 u - 1$ sama dengan $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Langkah 7.2

Selesaikan $2 u - 1 = 0$ untuk $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 u = 1$

Langkah 7.2.2

Bagi setiap suku pada $2 u = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 u = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 7.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 7.2.2.2.1.2

Bagilah $u$ dengan $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Langkah 8

Atur $u + 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Atur $u + 3$ sama dengan $0$ .

$u + 3 = 0$

Langkah 8.2

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$u = - 3$

Langkah 9

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- (2 u - 1) (u + 3) = 0$ benar.

$u = \frac{1}{2}, - 3$

Langkah 10

Substitusikan $\cos (z)$ untuk $u$ .

$\cos (z) = \frac{1}{2}, - 3$

Langkah 11

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $z$ .

$\cos (z) = \frac{1}{2}$

$\cos (z) = - 3$

Langkah 12

Selesaikan $z$ dalam $\cos (z) = \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $z$ dari dalam kosinus.

$z = \arccos (\frac{1}{2})$

Langkah 12.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (\frac{1}{2})$ adalah $\frac{π}{3}$ .

$z = \frac{π}{3}$

Langkah 12.3

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$z = 2 π - \frac{π}{3}$

Langkah 12.4

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$z = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 12.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$z = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 12.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$z = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Langkah 12.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.3.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$z = \frac{6 π - π}{3}$

Langkah 12.4.3.2

Kurangi $π$ dengan $6 π$ .

$z = \frac{5 π}{3}$

Langkah 12.5

Tentukan periode dari $\cos (z)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 12.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 12.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 12.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 12.6

Periode dari fungsi $\cos (z)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$z = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 13

Selesaikan $z$ dalam $\cos (z) = - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Jangkauan kosinusnya adalah $- 1 \leq y \leq 1$ . Karena $- 3$ tidak berada pada jangkauan ini, maka tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 14

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$z = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$