Trigonometri Contoh

$\csc (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$

Langkah 1

Bagi setiap suku pada $\csc (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$ dengan $\csc (\frac{x}{2})$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagilah setiap suku di $\csc (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$ dengan $\csc (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\csc (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})} = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})}$

Langkah 1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\csc (\frac{x}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\csc (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})} = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})}$

Langkah 1.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})}$

Langkah 1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Tulis kembali $\csc (\frac{x}{2})$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\sin (\frac{x}{2})}}$

Langkah 1.3.2

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{\sin (\frac{x}{2})}$ .

$1 = \sin (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})$

Langkah 1.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Naikkan $\sin (\frac{x}{2})$ menjadi pangkat $1$ .

$1 = \sin^{1} (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})$

Langkah 1.3.3.2

Naikkan $\sin (\frac{x}{2})$ menjadi pangkat $1$ .

$1 = \sin^{1} (\frac{x}{2}) \sin^{1} (\frac{x}{2})$

Langkah 1.3.3.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$1 = {\sin (\frac{x}{2})}^{1 + 1}$

Langkah 1.3.3.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$1 = \sin^{2} (\frac{x}{2})$

Langkah 2

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\sin^{2} (\frac{x}{2}) = 1$ .

$\sin^{2} (\frac{x}{2}) = 1$

Langkah 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{1}$

Langkah 4

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = \pm 1$

Langkah 5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$\sin (\frac{x}{2}) = 1$

Langkah 5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$\sin (\frac{x}{2}) = - 1$

Langkah 5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$\sin (\frac{x}{2}) = 1, - 1$

Langkah 6

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $x$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = 1$

$\sin (\frac{x}{2}) = - 1$

Langkah 7

Selesaikan $x$ dalam $\sin (\frac{x}{2}) = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$\frac{x}{2} = \arcsin (1)$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (1)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Langkah 7.3

Karena pernyataan pada setiap sisi persamaan mempunyai penyebut yang sama, maka pembilangnya harus sama.

$x = π$

Langkah 7.4

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{2}$

Langkah 7.5

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{2})$

Langkah 7.5.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{2})$

Langkah 7.5.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = 2 (π - \frac{π}{2})$

Langkah 7.5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.2.2.1

Sederhanakan $2 (π - \frac{π}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.2.2.1.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Langkah 7.5.2.2.1.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.2.2.1.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Langkah 7.5.2.2.1.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = 2 \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 7.5.2.2.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.2.2.1.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = 2 \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 7.5.2.2.1.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = π \cdot 2 - π$

Langkah 7.5.2.2.1.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $π$ .

$x = 2 π - π$

Langkah 7.5.2.2.1.4

Kurangi $π$ dengan $2 π$ .

$x = π$

Langkah 7.6

Tentukan periode dari $\sin (\frac{x}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 7.6.2

Ganti $b$ dengan $\frac{1}{2}$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Langkah 7.6.3

$\frac{1}{2}$ mendekati $0.5$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Langkah 7.6.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$2 π \cdot 2$

Langkah 7.6.5

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 π$

Langkah 7.7

Periode dari fungsi $\sin (\frac{x}{2})$ adalah $4 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $4 π$ radian di kedua arah.

$x = π + 4 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 8

Selesaikan $x$ dalam $\sin (\frac{x}{2}) = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$\frac{x}{2} = \arcsin (- 1)$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (- 1)$ adalah $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{2}$

Langkah 8.3

Karena pernyataan pada setiap sisi persamaan mempunyai penyebut yang sama, maka pembilangnya harus sama.

$x = - π$

Langkah 8.4

Fungsi sinus negatif pada kuadran ketiga dan keempat. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi penyelesaian dari $2 π$ , untuk mencari sudut acuan. Selanjutnya, tambahkan sudut acuan ini ke $π$ untuk mencari penyelesaian pada kuadran ketiga.

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Langkah 8.5

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Langkah 8.5.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{3 π}{2}$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2}$

Langkah 8.5.3

Karena pernyataan pada setiap sisi persamaan mempunyai penyebut yang sama, maka pembilangnya harus sama.

$x = 3 π$

Langkah 8.6

Tentukan periode dari $\sin (\frac{x}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 8.6.2

Ganti $b$ dengan $\frac{1}{2}$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Langkah 8.6.3

$\frac{1}{2}$ mendekati $0.5$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Langkah 8.6.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$2 π \cdot 2$

Langkah 8.6.5

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 π$

Langkah 8.7

Tambahkan $4 π$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.7.1

Tambahkan $4 π$ ke $- π$ untuk menentukan sudut positif.

$- π + 4 π$

Langkah 8.7.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$3 π$

Langkah 8.7.3

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$x = 3 π$

Langkah 8.8

Periode dari fungsi $\sin (\frac{x}{2})$ adalah $4 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $4 π$ radian di kedua arah.

$x = 3 π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 9

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 10

Gabungkan jawabannya.

$x = π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$