Trigonometri Contoh

cos (2 x) + 5 cos (x) + 3 = 0

$\cos (2 x) + 5 \cos (x) + 3 = 0$

Langkah 1

Sederhanakan sisi kiri dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan identitas sudut ganda untuk mengubah

cos (2 x)

$\cos (2 x)$ menjadi

2 {cos}^{2} (x) - 1

$2 \cos^{2} (x) - 1$ .

2 {cos}^{2} (x) - 1 + 5 cos (x) + 3 = 0

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 5 \cos (x) + 3 = 0$

Langkah 1.2

Tambahkan

- 1

$- 1$ dan

3

$3$ .

2 {cos}^{2} (x) + 2 + 5 cos (x) = 0

$2 \cos^{2} (x) + 2 + 5 \cos (x) = 0$

2 {cos}^{2} (x) + 2 + 5 cos (x) = 0

$2 \cos^{2} (x) + 2 + 5 \cos (x) = 0$

Langkah 2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Susun kembali suku-suku.

2 {cos}^{2} (x) + 5 cos (x) + 2 = 0

$2 \cos^{2} (x) + 5 \cos (x) + 2 = 0$

Langkah 2.2

Untuk polinomial dari bentuk

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah

a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4

$a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ dan yang jumlahnya adalah

b = 5

$b = 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan

5

$5$ dari

5 cos (x)

$5 \cos (x)$ .

2 {cos}^{2} (x) + 5 cos (x) + 2 = 0

$2 \cos^{2} (x) + 5 \cos (x) + 2 = 0$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali

5

$5$ sebagai

1

$1$ ditambah

4

$4$

2 {cos}^{2} (x) + (1 + 4) cos (x) + 2 = 0

$2 \cos^{2} (x) + (1 + 4) \cos (x) + 2 = 0$

Langkah 2.2.3

Terapkan sifat distributif.

2 {cos}^{2} (x) + 1 cos (x) + 4 cos (x) + 2 = 0

$2 \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) + 4 \cos (x) + 2 = 0$

Langkah 2.2.4

Kalikan

cos (x)

$\cos (x)$ dengan

1

$1$ .

2 {cos}^{2} (x) + cos (x) + 4 cos (x) + 2 = 0

$2 \cos^{2} (x) + \cos (x) + 4 \cos (x) + 2 = 0$

2 {cos}^{2} (x) + cos (x) + 4 cos (x) + 2 = 0

$2 \cos^{2} (x) + \cos (x) + 4 \cos (x) + 2 = 0$

Langkah 2.3

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

2 {cos}^{2} (x) + cos (x) + 4 cos (x) + 2 = 0

$2 \cos^{2} (x) + \cos (x) + 4 \cos (x) + 2 = 0$

Langkah 2.3.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

cos (x) (2 cos (x) + 1) + 2 (2 cos (x) + 1) = 0

$\cos (x) (2 \cos (x) + 1) + 2 (2 \cos (x) + 1) = 0$

cos (x) (2 cos (x) + 1) + 2 (2 cos (x) + 1) = 0

$\cos (x) (2 \cos (x) + 1) + 2 (2 \cos (x) + 1) = 0$

Langkah 2.4

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar,

2 cos (x) + 1

$2 \cos (x) + 1$ .

(2 cos (x) + 1) (cos (x) + 2) = 0

$(2 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 2) = 0$

(2 cos (x) + 1) (cos (x) + 2) = 0

$(2 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 2) = 0$

Langkah 3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan

0

$0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan

0

$0$ .

2 cos (x) + 1 = 0

$2 \cos (x) + 1 = 0$

cos (x) + 2 = 0

$\cos (x) + 2 = 0$

Langkah 4

Atur

2 cos (x) + 1

$2 \cos (x) + 1$ agar sama dengan

0

$0$ dan selesaikan

x

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur

2 cos (x) + 1

$2 \cos (x) + 1$ sama dengan

0

$0$ .

2 cos (x) + 1 = 0

$2 \cos (x) + 1 = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan

2 cos (x) + 1 = 0

$2 \cos (x) + 1 = 0$ untuk

x

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangkan

1

$1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

2 cos (x) = - 1

$2 \cos (x) = - 1$

Langkah 4.2.2

Bagi setiap suku pada

2 cos (x) = - 1

$2 \cos (x) = - 1$ dengan

2

$2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Bagilah setiap suku di

2 cos (x) = - 1

$2 \cos (x) = - 1$ dengan

2

$2$ .

\frac{2 cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari

2

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 4.2.2.2.1.2

Bagilah

$\cos (x)$ dengan

$1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Langkah 4.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Langkah 4.2.3

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan

$x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Langkah 4.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.1

Nilai eksak dari

$\arccos (- \frac{1}{2})$ adalah

$\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Langkah 4.2.5

Fungsi kosinus negatif di kuadran kedua dan ketiga. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari

$2 π$ untuk menghitung penyelesaian di kuadran ketiga.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Langkah 4.2.6

Sederhanakan

$2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.1

Untuk menuliskan

$2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan

$\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Langkah 4.2.6.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.2.1

Gabungkan

$2 π$ dan

$\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Langkah 4.2.6.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Langkah 4.2.6.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.3.1

Kalikan

$3$ dengan

$2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Langkah 4.2.6.3.2

Kurangi

$2 π$ dengan

$6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Langkah 4.2.7

Tentukan periode dari

$\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 4.2.7.2

Ganti

$b$ dengan

$1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 4.2.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara

$0$ dan

$1$ adalah

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 4.2.7.4

Bagilah

$2 π$ dengan

$1$ .

$2 π$

Langkah 4.2.8

Periode dari fungsi

$\cos (x)$ adalah

$2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap

$2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$

Langkah 5

Atur

$\cos (x) + 2$ agar sama dengan

$0$ dan selesaikan

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur

$\cos (x) + 2$ sama dengan

$0$ .

$\cos (x) + 2 = 0$

Langkah 5.2

Selesaikan

$\cos (x) + 2 = 0$ untuk

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kurangkan

$2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\cos (x) = - 2$

Langkah 5.2.2

Jangkauan kosinusnya adalah

$- 1 \leq y \leq 1$ . Karena

$- 2$ tidak berada pada jangkauan ini, maka tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat

$(2 \cos (x) + 1) (\cos (x) + 2) = 0$ benar.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$