Trigonometri Contoh

$\cos (2 x) = 3 \sin (x)$

Langkah 1

Gunakan identitas sudut ganda untuk mengubah $\cos (2 x)$ menjadi $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) = 3 \sin (x)$

Langkah 2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 2 \sin^{2} (x) = 3 \sin (x) - 1$

Langkah 3

Kurangkan $3 \sin (x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 2 \sin^{2} (x) - 3 \sin (x) = - 1$

Langkah 4

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $u$ untuk $\sin (x)$ .

$- 2 {(u)}^{2} - 3 u = - 1$

Langkah 4.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$- 2 u^{2} - 3 u + 1 = 0$

Langkah 4.3

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 4.4

Substitusikan nilai-nilai $a = - 2$ , $b = - 3$ , dan $c = 1$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $u$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot 1)}}{2 \cdot - 2}$

Langkah 4.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Langkah 4.5.1.2

Kalikan $- 4 \cdot - 2 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Langkah 4.5.1.2.2

Kalikan $8$ dengan $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot - 2}$

Langkah 4.5.1.3

Tambahkan $9$ dan $8$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot - 2}$

Langkah 4.5.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{- 4}$

Langkah 4.5.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Langkah 4.6

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$u = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Langkah 4.7

Substitusikan $\sin (x)$ untuk $u$ .

$\sin (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Langkah 4.8

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $x$ .

$\sin (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

$\sin (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Langkah 4.9

Selesaikan $x$ dalam $\sin (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.1

Jangkauan sinus adalah $- 1 \leq y \leq 1$ . Karena $- \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ tidak berada dalam jangkauan ini, maka tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 4.10

Selesaikan $x$ dalam $\sin (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (- \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$

Langkah 4.10.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.2.1

Evaluasi $\arcsin (- \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$ .

$x = 0.28460296$

Langkah 4.10.3

Fungsi sinus negatif pada kuadran ketiga dan keempat. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi penyelesaian dari $2 π$ , untuk mencari sudut acuan. Selanjutnya, tambahkan sudut acuan ini ke $π$ untuk mencari penyelesaian pada kuadran ketiga.

$x = 2 (3.14159265) - 0.28460296 + 3.14159265$

Langkah 4.10.4

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.4.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 (3.14159265) - 0.28460296 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) - 0.28460296 + 3.14159265 - 2 π$

Langkah 4.10.4.2

Sudut yang dihasilkan dari $2.85698969$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 (3.14159265) - 0.28460296 + 3.14159265$ .

$x = 2.85698969$

Langkah 4.10.5

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 4.10.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 4.10.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 4.10.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 4.10.6

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = 0.28460296 + 2 π n, 2.85698969 + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4.11

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$x = 0.28460296 + 2 π n, 2.85698969 + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$