Trigonometri Contoh

$(\csc (x) - 2) (\cot (x) + 1) = 0$

Langkah 1

Sederhanakan sisi kiri dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Perluas $(\csc (x) - 2) (\cot (x) + 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\csc (x) (\cot (x) + 1) - 2 (\cot (x) + 1) = 0$

Langkah 1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\csc (x) \cot (x) + \csc (x) \cdot 1 - 2 (\cot (x) + 1) = 0$

Langkah 1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\csc (x) \cot (x) + \csc (x) \cdot 1 - 2 \cot (x) - 2 \cdot 1 = 0$

Langkah 1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Kalikan $\csc (x)$ dengan $1$ .

$\csc (x) \cot (x) + \csc (x) - 2 \cot (x) - 2 \cdot 1 = 0$

Langkah 1.2.2

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\csc (x) \cot (x) + \csc (x) - 2 \cot (x) - 2 = 0$

Langkah 2

Faktorkan $\csc (x) \cot (x) + \csc (x) - 2 \cot (x) - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$\csc (x) \cot (x) + \csc (x) - 2 \cot (x) - 2 = 0$

Langkah 2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$\csc (x) (\cot (x) + 1) - 2 (\cot (x) + 1) = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $\cot (x) + 1$ .

$(\cot (x) + 1) (\csc (x) - 2) = 0$

Langkah 3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\cot (x) + 1 = 0$

$\csc (x) - 2 = 0$

Langkah 4

Atur $\cot (x) + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur $\cot (x) + 1$ sama dengan $0$ .

$\cot (x) + 1 = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $\cot (x) + 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\cot (x) = - 1$

Langkah 4.2.2

Ambil kotangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kotangen.

$x = arccot (- 1)$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Nilai eksak dari $arccot (- 1)$ adalah $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Langkah 4.2.4

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

Langkah 4.2.5

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.5.1

Tambahkan $2 π$ ke $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Langkah 4.2.5.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{7 π}{4}$ positif dan koterminal dengan $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Langkah 4.2.6

Tentukan periode dari $\cot (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Langkah 4.2.6.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Langkah 4.2.6.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{π}{1}$

Langkah 4.2.6.4

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 4.2.7

Periode dari fungsi $\cot (x)$ adalah $π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 5

Atur $\csc (x) - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur $\csc (x) - 2$ sama dengan $0$ .

$\csc (x) - 2 = 0$

Langkah 5.2

Selesaikan $\csc (x) - 2 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$\csc (x) = 2$

Langkah 5.2.2

Ambil kosekan balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosekan.

$x = arccsc (2)$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Nilai eksak dari $arccsc (2)$ adalah $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Langkah 5.2.4

Fungsi kosekan positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - \frac{π}{6}$

Langkah 5.2.5

Sederhanakan $π - \frac{π}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 5.2.5.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 5.2.5.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Langkah 5.2.5.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.3.1

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Langkah 5.2.5.3.2

Kurangi $π$ dengan $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Langkah 5.2.6

Tentukan periode dari $\csc (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 5.2.6.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 5.2.6.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 5.2.6.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 5.2.7

Periode dari fungsi $\csc (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(\cot (x) + 1) (\csc (x) - 2) = 0$ benar.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 7

Gabungkan $\frac{3 π}{4} + π n$ dan $\frac{7 π}{4} + π n$ menjadi $\frac{3 π}{4} + π n$ .

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$