Trigonometri Contoh

${(1 + i)}^{6}$

Langkah 1

Gunakan Teorema Binomial.

$1^{6} + 6 \cdot 1^{5} i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 + 6 \cdot 1^{5} i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Langkah 2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 + 6 \cdot 1 i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Langkah 2.1.3

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$1 + 6 i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Langkah 2.1.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 + 6 i + 15 \cdot 1 i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Langkah 2.1.5

Kalikan $15$ dengan $1$ .

$1 + 6 i + 15 i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Langkah 2.1.6

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$1 + 6 i + 15 \cdot - 1 + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Langkah 2.1.7

Kalikan $15$ dengan $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Langkah 2.1.8

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 + 6 i - 15 + 20 \cdot 1 i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Langkah 2.1.9

Kalikan $20$ dengan $1$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Langkah 2.1.10

Faktorkan $i^{2}$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 (i^{2} \cdot i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Langkah 2.1.11

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 (- 1 \cdot i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Langkah 2.1.12

Tulis kembali $- 1 i$ sebagai $- i$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 (- i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Langkah 2.1.13

Kalikan $- 1$ dengan $20$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Langkah 2.1.14

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1 i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Langkah 2.1.15

Kalikan $15$ dengan $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Langkah 2.1.16

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.16.1

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 {(i^{2})}^{2} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Langkah 2.1.16.2

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 {(- 1)}^{2} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Langkah 2.1.16.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1 + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Langkah 2.1.17

Kalikan $15$ dengan $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Langkah 2.1.18

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i^{5} + i^{6}$

Langkah 2.1.19

Faktorkan $i^{4}$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 (i^{4} i) + i^{6}$

Langkah 2.1.20

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.20.1

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 ({(i^{2})}^{2} i) + i^{6}$

Langkah 2.1.20.2

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 ({(- 1)}^{2} i) + i^{6}$

Langkah 2.1.20.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 (1 i) + i^{6}$

Langkah 2.1.21

Kalikan $i$ dengan $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{6}$

Langkah 2.1.22

Faktorkan $i^{4}$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{4} i^{2}$

Langkah 2.1.23

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.23.1

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + {(i^{2})}^{2} i^{2}$

Langkah 2.1.23.2

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + {(- 1)}^{2} i^{2}$

Langkah 2.1.23.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + 1 i^{2}$

Langkah 2.1.24

Kalikan $i^{2}$ dengan $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{2}$

Langkah 2.1.25

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i - 1$

Langkah 2.2

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kurangi $15$ dengan $1$ .

$- 14 + 6 i - 20 i + 15 + 6 i - 1$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Tambahkan $- 14$ dan $15$ .

$1 + 6 i - 20 i + 6 i - 1$

Langkah 2.2.2.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$0 + 6 i - 20 i + 6 i$

Langkah 2.2.2.3

Tambahkan $0$ dan $6 i$ .

$6 i - 20 i + 6 i$

Langkah 2.2.3

Kurangi $20 i$ dengan $6 i$ .

$- 14 i + 6 i$

Langkah 2.2.4

Tambahkan $- 14 i$ dan $6 i$ .

$- 8 i$

Langkah 3

Ini adalah bentuk trigonometri dari bilangan kompleks di mana $| z |$ adalah modulusnya dan $θ$ adalah sudut yang dibuat di bidang kompleks.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Langkah 4

Modulus bilangan kompleks adalah jarak dari asal pada bidang kompleks.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ di mana $z = a + b i$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai aktual dari $a = 0$ dan $b = - 8$ .

$| z | = \sqrt{{(- 8)}^{2}}$

Langkah 6

Temukan $| z |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Naikkan $- 8$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Langkah 6.2

Tulis kembali $64$ sebagai $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Langkah 6.3

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$| z | = 8$

Langkah 7

Sudut dari titik pada bidang kompleks adalah tangen balikan dari bagian kompleks per bagian riil.

$θ = \arctan (\frac{- 8}{0})$

Langkah 8

Karena argumennya tidak terdefinisi dan $b$ negatif, sudut dari titik pada bidang kompleksnya adalah $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Langkah 9

Substitusikan nilai-nilai dari $θ = \frac{3 π}{2}$ dan $| z | = 8$ .

$8 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$