Trigonometri Contoh

$\cot^{2} (x) + 4 \csc (x) = - 5$

Langkah 1

Ganti $\cot^{2} (x)$ dengan $\csc^{2} (x) - 1$ berdasarkan identitas $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\csc^{2} (x) - 1) + 4 \csc (x) = - 5$

Langkah 2

Susun ulang polinomial tersebut.

$\csc^{2} (x) + 4 \csc (x) - 1 = - 5$

Langkah 3

Substitusikan $u$ untuk $\csc (x)$ .

${(u)}^{2} + 4 (u) - 1 = - 5$

Langkah 4

Tambahkan $5$ ke kedua sisi persamaan.

$u^{2} + 4 u - 1 + 5 = 0$

Langkah 5

Tambahkan $- 1$ dan $5$ .

$u^{2} + 4 u + 4 = 0$

Langkah 6

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$u^{2} + 4 u + 2^{2} = 0$

Langkah 6.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Langkah 6.3

Tulis kembali polinomialnya.

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Langkah 6.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , di mana $a = u$ dan $b = 2$ .

${(u + 2)}^{2} = 0$

Langkah 7

Atur $u + 2$ agar sama dengan $0$ .

$u + 2 = 0$

Langkah 8

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$u = - 2$

Langkah 9

Substitusikan $\csc (x)$ untuk $u$ .

$\csc (x) = - 2$

Langkah 10

Ambil kosekan balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosekan.

$x = arccsc (- 2)$

Langkah 11

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Nilai eksak dari $arccsc (- 2)$ adalah $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Langkah 12

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Langkah 13

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Langkah 13.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{7 π}{6}$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Langkah 14

Tentukan periode dari $\csc (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 14.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 14.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 14.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 15

Tambahkan $2 π$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Tambahkan $2 π$ ke $- \frac{π}{6}$ untuk menentukan sudut positif.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Langkah 15.2

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 15.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 15.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Langkah 15.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.1

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Langkah 15.4.2

Kurangi $π$ dengan $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Langkah 15.5

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$x = \frac{11 π}{6}$

Langkah 16

Periode dari fungsi $\csc (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$