Trigonometri Contoh

$\cot^{2} (x) = - \frac{5}{2} \cdot \csc (x) - 2$

Langkah 1

Ganti $\cot^{2} (x)$ dengan $\csc^{2} (x) - 1$ berdasarkan identitas $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) - 1 = - \frac{5}{2} \cdot \csc (x) - 2$

Langkah 2

Substitusikan $u$ untuk $\csc (x)$ .

${(u)}^{2} - 1 = - \frac{5}{2} u - 2$

Langkah 3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $u$ dan $\frac{5}{2}$ .

$u^{2} - 1 = - \frac{u \cdot 5}{2} - 2$

Langkah 3.2

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $u$ .

$u^{2} - 1 = - \frac{5 u}{2} - 2$

Langkah 4

Tambahkan $\frac{5 u}{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$u^{2} - 1 + \frac{5 u}{2} = - 2$

Langkah 5

Pindahkan semua suku ke sisi kiri dari persamaan tersebut dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$u^{2} - 1 + \frac{5 u}{2} + 2 = 0$

Langkah 5.2

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$u^{2} + \frac{5 u}{2} + 1 = 0$

Langkah 6

Kalikan dengan penyebut sekutu terkecil $2$ , kemudian sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Terapkan sifat distributif.

$2 u^{2} + 2 \frac{5 u}{2} + 2 \cdot 1 = 0$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 u^{2} + 2 \frac{5 u}{2} + 2 \cdot 1 = 0$

Langkah 6.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 u^{2} + 5 u + 2 \cdot 1 = 0$

Langkah 6.2.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 u^{2} + 5 u + 2 = 0$

Langkah 7

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 8

Substitusikan nilai-nilai $a = 2$ , $b = 5$ , dan $c = 2$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $u$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 2)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Langkah 9.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Langkah 9.1.2.2

Kalikan $- 8$ dengan $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2 \cdot 2}$

Langkah 9.1.3

Kurangi $16$ dengan $25$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2}$

Langkah 9.1.4

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{3^{2}}}{2 \cdot 2}$

Langkah 9.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$u = \frac{- 5 \pm 3}{2 \cdot 2}$

Langkah 9.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm 3}{4}$

Langkah 10

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$u = - \frac{1}{2}, - 2$

Langkah 11

Substitusikan $\csc (x)$ untuk $u$ .

$\csc (x) = - \frac{1}{2}, - 2$

Langkah 12

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $x$ .

$\csc (x) = - \frac{1}{2}$

$\csc (x) = - 2$

Langkah 13

Selesaikan $x$ dalam $\csc (x) = - \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Jangkauan dari kosekan adalah $y \leq - 1$ dan $y \geq 1$ . Karena $- \frac{1}{2}$ tidak berada pada jangkauan ini, maka tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 14

Selesaikan $x$ dalam $\csc (x) = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Ambil kosekan balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosekan.

$x = arccsc (- 2)$

Langkah 14.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Nilai eksak dari $arccsc (- 2)$ adalah $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Langkah 14.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Langkah 14.4

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Langkah 14.4.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{7 π}{6}$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Langkah 14.5

Tentukan periode dari $\csc (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 14.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 14.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 14.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 14.6

Tambahkan $2 π$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.6.1

Tambahkan $2 π$ ke $- \frac{π}{6}$ untuk menentukan sudut positif.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Langkah 14.6.2

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 14.6.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.6.3.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 14.6.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Langkah 14.6.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.6.4.1

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Langkah 14.6.4.2

Kurangi $π$ dengan $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Langkah 14.6.5

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$x = \frac{11 π}{6}$

Langkah 14.7

Periode dari fungsi $\csc (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 15

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$