Trigonometri Contoh

$\cos (2 t) + 3 \cos (t) = 1$

Langkah 1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\cos (2 t) + 3 \cos (t) - 1 = 0$

Langkah 2

Sederhanakan sisi kiri dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan identitas sudut ganda untuk mengubah $\cos (2 x)$ menjadi $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 \cos^{2} (t) - 1 + 3 \cos (t) - 1 = 0$

Langkah 2.2

Kurangi $1$ dengan $- 1$ .

$2 \cos^{2} (t) - 2 + 3 \cos (t) = 0$

Langkah 3

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Susun kembali suku-suku.

$2 \cos^{2} (t) + 3 \cos (t) - 2 = 0$

Langkah 3.2

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ dan yang jumlahnya adalah $b = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $3$ dari $3 \cos (t)$ .

$2 \cos^{2} (t) + 3 \cos (t) - 2 = 0$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali $3$ sebagai $- 1$ ditambah $4$

$2 \cos^{2} (t) + (- 1 + 4) \cos (t) - 2 = 0$

Langkah 3.2.3

Terapkan sifat distributif.

$2 \cos^{2} (t) - 1 \cos (t) + 4 \cos (t) - 2 = 0$

Langkah 3.3

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$2 \cos^{2} (t) - 1 \cos (t) + 4 \cos (t) - 2 = 0$

Langkah 3.3.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$\cos (t) (2 \cos (t) - 1) + 2 (2 \cos (t) - 1) = 0$

Langkah 3.4

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 \cos (t) - 1$ .

$(2 \cos (t) - 1) (\cos (t) + 2) = 0$

Langkah 4

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 \cos (t) - 1 = 0$

$\cos (t) + 2 = 0$

Langkah 5

Atur $2 \cos (t) - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur $2 \cos (t) - 1$ sama dengan $0$ .

$2 \cos (t) - 1 = 0$

Langkah 5.2

Selesaikan $2 \cos (t) - 1 = 0$ untuk $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 \cos (t) = 1$

Langkah 5.2.2

Bagi setiap suku pada $2 \cos (t) = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 \cos (t) = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 \cos (t)}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cos (t)}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 5.2.2.2.1.2

Bagilah $\cos (t)$ dengan $1$ .

$\cos (t) = \frac{1}{2}$

Langkah 5.2.3

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $t$ dari dalam kosinus.

$t = \arccos (\frac{1}{2})$

Langkah 5.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Nilai eksak dari $\arccos (\frac{1}{2})$ adalah $\frac{π}{3}$ .

$t = \frac{π}{3}$

Langkah 5.2.5

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$t = 2 π - \frac{π}{3}$

Langkah 5.2.6

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$t = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 5.2.6.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$t = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 5.2.6.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$t = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Langkah 5.2.6.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.3.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$t = \frac{6 π - π}{3}$

Langkah 5.2.6.3.2

Kurangi $π$ dengan $6 π$ .

$t = \frac{5 π}{3}$

Langkah 5.2.7

Tentukan periode dari $\cos (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 5.2.7.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 5.2.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 5.2.7.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 5.2.8

Periode dari fungsi $\cos (t)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$t = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 6

Atur $\cos (t) + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur $\cos (t) + 2$ sama dengan $0$ .

$\cos (t) + 2 = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan $\cos (t) + 2 = 0$ untuk $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\cos (t) = - 2$

Langkah 6.2.2

Jangkauan kosinusnya adalah $- 1 \leq y \leq 1$ . Karena $- 2$ tidak berada pada jangkauan ini, maka tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(2 \cos (t) - 1) (\cos (t) + 2) = 0$ benar.

$t = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$