Trigonometri Contoh

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 1

Kurangkan $\frac{\sqrt{3}}{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

Langkah 2

Ganti $\sin^{2} (x)$ dengan $1 - \cos^{2} (x)$ berdasarkan identitas $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

Langkah 3

Kurangi $\cos^{2} (x)$ dengan $- \cos^{2} (x)$ .

$1 - 2 \cos^{2} (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

Langkah 4

Susun ulang polinomial tersebut.

$- 2 \cos^{2} (x) + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

Langkah 5

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\cos (x)$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 2 \cos^{2} (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1$

Langkah 5.2

Tambahkan $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$- 2 \cos^{2} (x) = - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 6

Bagi setiap suku pada $- 2 \cos^{2} (x) = - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagilah setiap suku di $- 2 \cos^{2} (x) = - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 2}$

Langkah 6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 2}$

Langkah 6.2.1.2

Bagilah $\cos^{2} (x)$ dengan $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 1}{- 2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 2}$

Langkah 6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 2}$

Langkah 6.3.1.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{- 2}$

Langkah 6.3.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.3.1.4

Kalikan $\frac{\sqrt{3}}{2} (- \frac{1}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.4.1

Kalikan $\frac{\sqrt{3}}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Langkah 6.3.1.4.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}$

Langkah 7

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$

Langkah 8

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Untuk menuliskan $\frac{1}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$

Langkah 8.2

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $4$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{2}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$

Langkah 8.2.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{2}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$

Langkah 8.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$

Langkah 8.4

Tulis kembali $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ sebagai $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$

Langkah 8.5

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Langkah 8.5.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Langkah 9

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Langkah 9.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Langkah 9.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}, - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Langkah 10

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Langkah 11

Selesaikan $x$ dalam $\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

Langkah 11.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Evaluasi $\arccos (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Langkah 11.3

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - \frac{5 π}{12}$

Langkah 11.4

Sederhanakan $2 π - \frac{5 π}{12}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{12}{12}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{12}{12} - \frac{5 π}{12}$

Langkah 11.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{12}{12}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 12}{12} - \frac{5 π}{12}$

Langkah 11.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 12 - 5 π}{12}$

Langkah 11.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.3.1

Kalikan $12$ dengan $2$ .

$x = \frac{24 π - 5 π}{12}$

Langkah 11.4.3.2

Kurangi $5 π$ dengan $24 π$ .

$x = \frac{19 π}{12}$

Langkah 11.5

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 11.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 11.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 11.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 11.6

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{5 π}{12} + 2 π n, \frac{19 π}{12} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 12

Selesaikan $x$ dalam $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

Langkah 12.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Evaluasi $\arccos (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Langkah 12.3

Fungsi kosinus negatif di kuadran kedua dan ketiga. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menghitung penyelesaian di kuadran ketiga.

$x = 2 π - \frac{7 π}{12}$

Langkah 12.4

Sederhanakan $2 π - \frac{7 π}{12}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{12}{12}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{12}{12} - \frac{7 π}{12}$

Langkah 12.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{12}{12}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 12}{12} - \frac{7 π}{12}$

Langkah 12.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 12 - 7 π}{12}$

Langkah 12.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.3.1

Kalikan $12$ dengan $2$ .

$x = \frac{24 π - 7 π}{12}$

Langkah 12.4.3.2

Kurangi $7 π$ dengan $24 π$ .

$x = \frac{17 π}{12}$

Langkah 12.5

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 12.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 12.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 12.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 12.6

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{7 π}{12} + 2 π n, \frac{17 π}{12} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 13

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$x = \frac{5 π}{12} + 2 π n, \frac{19 π}{12} + 2 π n, \frac{7 π}{12} + 2 π n, \frac{17 π}{12} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 14

Gabungkan penyelesaiannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Gabungkan $\frac{5 π}{12} + 2 π n$ dan $\frac{17 π}{12} + 2 π n$ menjadi $\frac{5 π}{12} + π n$ .

$x = \frac{5 π}{12} + π n, \frac{19 π}{12} + 2 π n, \frac{7 π}{12} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 14.2

Gabungkan $\frac{19 π}{12} + 2 π n$ dan $\frac{7 π}{12} + 2 π n$ menjadi $\frac{7 π}{12} + π n$ .

$x = \frac{5 π}{12} + π n, \frac{7 π}{12} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$