Trigonometri Contoh

$2 \cos^{2} (2 x) - \cos (2 x) - 1 = 0$

Langkah 1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = \cos (2 x)$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $\cos (2 x)$ .

$2 u^{2} - u - 1 = 0$

Langkah 1.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Faktorkan $- 1$ dari $- u$ .

$2 u^{2} - (u) - 1 = 0$

Langkah 1.2.1.2

Tulis kembali $- 1$ sebagai $1$ ditambah $- 2$

$2 u^{2} + (1 - 2) u - 1 = 0$

Langkah 1.2.1.3

Terapkan sifat distributif.

$2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1 = 0$

Langkah 1.2.1.4

Kalikan $u$ dengan $1$ .

$2 u^{2} + u - 2 u - 1 = 0$

Langkah 1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(2 u^{2} + u) - 2 u - 1 = 0$

Langkah 1.2.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$u (2 u + 1) - (2 u + 1) = 0$

Langkah 1.2.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 u + 1$ .

$(2 u + 1) (u - 1) = 0$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (2 x)$ .

$(2 \cos (2 x) + 1) (\cos (2 x) - 1) = 0$

Langkah 2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 \cos (2 x) + 1 = 0$

$\cos (2 x) - 1 = 0$

Langkah 3

Atur $2 \cos (2 x) + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur $2 \cos (2 x) + 1$ sama dengan $0$ .

$2 \cos (2 x) + 1 = 0$

Langkah 3.2

Selesaikan $2 \cos (2 x) + 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 \cos (2 x) = - 1$

Langkah 3.2.2

Bagi setiap suku pada $2 \cos (2 x) = - 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 \cos (2 x) = - 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 3.2.2.2.1.2

Bagilah $\cos (2 x)$ dengan $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{- 1}{2}$

Langkah 3.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\cos (2 x) = - \frac{1}{2}$

Langkah 3.2.3

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$2 x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Langkah 3.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Nilai eksak dari $\arccos (- \frac{1}{2})$ adalah $\frac{2 π}{3}$ .

$2 x = \frac{2 π}{3}$

Langkah 3.2.5

Bagi setiap suku pada $2 x = \frac{2 π}{3}$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Bagilah setiap suku di $2 x = \frac{2 π}{3}$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Langkah 3.2.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Langkah 3.2.5.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Langkah 3.2.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 3.2.5.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 π$ .

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 3.2.5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 3.2.5.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{π}{3}$

Langkah 3.2.6

Fungsi kosinus negatif di kuadran kedua dan ketiga. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menghitung penyelesaian di kuadran ketiga.

$2 x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Langkah 3.2.7

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.1.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Langkah 3.2.7.1.2

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Langkah 3.2.7.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Langkah 3.2.7.1.4

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$2 x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Langkah 3.2.7.1.5

Kurangi $2 π$ dengan $6 π$ .

$2 x = \frac{4 π}{3}$

Langkah 3.2.7.2

Bagi setiap suku pada $2 x = \frac{4 π}{3}$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = \frac{4 π}{3}$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Langkah 3.2.7.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Langkah 3.2.7.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Langkah 3.2.7.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.2.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 3.2.7.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $4 π$ .

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 3.2.7.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 3.2.7.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{2 π}{3}$

Langkah 3.2.8

Tentukan periode dari $\cos (2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 3.2.8.2

Ganti $b$ dengan $2$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Langkah 3.2.8.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $2$ adalah $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Langkah 3.2.8.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 π}{2}$

Langkah 3.2.8.4.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 3.2.9

Periode dari fungsi $\cos (2 x)$ adalah $π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4

Atur $\cos (2 x) - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur $\cos (2 x) - 1$ sama dengan $0$ .

$\cos (2 x) - 1 = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $\cos (2 x) - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$\cos (2 x) = 1$

Langkah 4.2.2

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$2 x = \arccos (1)$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Nilai eksak dari $\arccos (1)$ adalah $0$ .

$2 x = 0$

Langkah 4.2.4

Bagi setiap suku pada $2 x = 0$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 0$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 4.2.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 4.2.4.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Langkah 4.2.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.3.1

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$x = 0$

Langkah 4.2.5

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$2 x = 2 π - 0$

Langkah 4.2.6

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$2 x = 2 π + 0$

Langkah 4.2.6.1.2

Tambahkan $2 π$ dan $0$ .

$2 x = 2 π$

Langkah 4.2.6.2

Bagi setiap suku pada $2 x = 2 π$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 2 π$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Langkah 4.2.6.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Langkah 4.2.6.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{2 π}{2}$

Langkah 4.2.6.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.2.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{2 π}{2}$

Langkah 4.2.6.2.3.1.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$x = π$

Langkah 4.2.7

Tentukan periode dari $\cos (2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 4.2.7.2

Ganti $b$ dengan $2$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Langkah 4.2.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $2$ adalah $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Langkah 4.2.7.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.7.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 π}{2}$

Langkah 4.2.7.4.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 4.2.8

Periode dari fungsi $\cos (2 x)$ adalah $π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $π$ radian di kedua arah.

$x = π n, π + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(2 \cos (2 x) + 1) (\cos (2 x) - 1) = 0$ benar.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, π n, π + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 6

Gabungkan jawabannya.

$x = \frac{π n}{3}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$