Trigonometri Contoh

$2 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Langkah 1

Substitusikan $u$ untuk $\cos (x)$ .

$2 {(u)}^{2} - 2 u - 1 = 0$

Langkah 2

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 3

Substitusikan nilai-nilai $a = 2$ , $b = - 2$ , dan $c = - 1$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $u$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Langkah 4.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Langkah 4.1.2.2

Kalikan $- 8$ dengan $- 1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Langkah 4.1.3

Tambahkan $4$ dan $8$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Langkah 4.1.4

Tulis kembali $12$ sebagai $2^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 4.1.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Langkah 4.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Langkah 4.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Langkah 4.3

Sederhanakan $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Langkah 5

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$u = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Langkah 6

Substitusikan $\cos (x)$ untuk $u$ .

$\cos (x) = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Langkah 7

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $x$ .

$\cos (x) = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Langkah 8

Selesaikan $x$ dalam $\cos (x) = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Jangkauan kosinusnya adalah $- 1 \leq y \leq 1$ . Karena $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ tidak berada pada jangkauan ini, maka tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 9

Selesaikan $x$ dalam $\cos (x) = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Langkah 9.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Evaluasi $\arccos (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$ .

$x = 1.94553075$

Langkah 9.3

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 (3.14159265) - 1.94553075$

Langkah 9.4

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.1

Hilangkan tanda kurung.

$x = 2 (3.14159265) - 1.94553075$

Langkah 9.4.2

Sederhanakan $2 (3.14159265) - 1.94553075$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.2.1

Kalikan $2$ dengan $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.94553075$

Langkah 9.4.2.2

Kurangi $1.94553075$ dengan $6.2831853$ .

$x = 4.33765454$

Langkah 9.5

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 9.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 9.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 9.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 9.6

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = 1.94553075 + 2 π n, 4.33765454 + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 10

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$x = 1.94553075 + 2 π n, 4.33765454 + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$