Trigonometri Contoh

$2 \cot^{2} (x) + 3 \csc (x) = 0$

Langkah 1

Ganti $2 \cot^{2} (x)$ dengan $2 (\csc^{2} (x) - 1)$ berdasarkan identitas $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) - 1) + 3 \csc (x) = 0$

Langkah 2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Terapkan sifat distributif.

$2 \csc^{2} (x) + 2 \cdot - 1 + 3 \csc (x) = 0$

Langkah 2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$2 \csc^{2} (x) - 2 + 3 \csc (x) = 0$

Langkah 3

Susun ulang polinomial tersebut.

$2 \csc^{2} (x) + 3 \csc (x) - 2 = 0$

Langkah 4

Substitusikan $u$ untuk $\csc (x)$ .

$2 {(u)}^{2} + 3 (u) - 2 = 0$

Langkah 5

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ dan yang jumlahnya adalah $b = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Faktorkan $3$ dari $3 u$ .

$2 u^{2} + 3 u - 2 = 0$

Langkah 5.1.2

Tulis kembali $3$ sebagai $- 1$ ditambah $4$

$2 u^{2} + (- 1 + 4) u - 2 = 0$

Langkah 5.1.3

Terapkan sifat distributif.

$2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2 = 0$

Langkah 5.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2 = 0$

Langkah 5.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$u (2 u - 1) + 2 (2 u - 1) = 0$

Langkah 5.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 2) = 0$

Langkah 6

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Langkah 7

Atur $2 u - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Atur $2 u - 1$ sama dengan $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Langkah 7.2

Selesaikan $2 u - 1 = 0$ untuk $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 u = 1$

Langkah 7.2.2

Bagi setiap suku pada $2 u = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 u = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 7.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 7.2.2.2.1.2

Bagilah $u$ dengan $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Langkah 8

Atur $u + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Atur $u + 2$ sama dengan $0$ .

$u + 2 = 0$

Langkah 8.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$u = - 2$

Langkah 9

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(2 u - 1) (u + 2) = 0$ benar.

$u = \frac{1}{2}, - 2$

Langkah 10

Substitusikan $\csc (x)$ untuk $u$ .

$\csc (x) = \frac{1}{2}, - 2$

Langkah 11

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $x$ .

$\csc (x) = \frac{1}{2}$

$\csc (x) = - 2$

Langkah 12

Selesaikan $x$ dalam $\csc (x) = \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Jangkauan dari kosekan adalah $y \leq - 1$ dan $y \geq 1$ . Karena $\frac{1}{2}$ tidak berada pada jangkauan ini, maka tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 13

Selesaikan $x$ dalam $\csc (x) = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Ambil kosekan balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosekan.

$x = arccsc (- 2)$

Langkah 13.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Nilai eksak dari $arccsc (- 2)$ adalah $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Langkah 13.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Langkah 13.4

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Langkah 13.4.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{7 π}{6}$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Langkah 13.5

Tentukan periode dari $\csc (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 13.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 13.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 13.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 13.6

Tambahkan $2 π$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.6.1

Tambahkan $2 π$ ke $- \frac{π}{6}$ untuk menentukan sudut positif.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Langkah 13.6.2

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 13.6.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.6.3.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 13.6.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Langkah 13.6.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.6.4.1

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Langkah 13.6.4.2

Kurangi $π$ dengan $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Langkah 13.6.5

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$x = \frac{11 π}{6}$

Langkah 13.7

Periode dari fungsi $\csc (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 14

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$