Trigonometri Contoh

$16 \sin (x) = 4 \cos^{2} (x) - 11$

Langkah 1

Pindahkan semua pernyataan ke sisi kiri dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $4 \cos^{2} (x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$16 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) = - 11$

Langkah 1.2

Tambahkan $11$ ke kedua sisi persamaan.

$16 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 11 = 0$

Langkah 2

Ganti $- 4 \cos^{2} (x)$ dengan $- 4 (1 - \sin^{2} (x))$ berdasarkan identitas $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$16 \sin (x) - 4 (1 - \sin^{2} (x)) + 11 = 0$

Langkah 3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan sifat distributif.

$16 \sin (x) - 4 \cdot 1 - 4 (- \sin^{2} (x)) + 11 = 0$

Langkah 3.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$16 \sin (x) - 4 - 4 (- \sin^{2} (x)) + 11 = 0$

Langkah 3.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$16 \sin (x) - 4 + 4 \sin^{2} (x) + 11 = 0$

Langkah 4

Tambahkan $- 4$ dan $11$ .

$16 \sin (x) + 4 \sin^{2} (x) + 7 = 0$

Langkah 5

Susun ulang polinomial tersebut.

$4 \sin^{2} (x) + 16 \sin (x) + 7 = 0$

Langkah 6

Substitusikan $u$ untuk $\sin (x)$ .

$4 {(u)}^{2} + 16 (u) + 7 = 0$

Langkah 7

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 4 \cdot 7 = 28$ dan yang jumlahnya adalah $b = 16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Faktorkan $16$ dari $16 u$ .

$4 u^{2} + 16 u + 7 = 0$

Langkah 7.1.2

Tulis kembali $16$ sebagai $2$ ditambah $14$

$4 u^{2} + (2 + 14) u + 7 = 0$

Langkah 7.1.3

Terapkan sifat distributif.

$4 u^{2} + 2 u + 14 u + 7 = 0$

Langkah 7.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$4 u^{2} + 2 u + 14 u + 7 = 0$

Langkah 7.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$2 u (2 u + 1) + 7 (2 u + 1) = 0$

Langkah 7.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 u + 1$ .

$(2 u + 1) (2 u + 7) = 0$

Langkah 8

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 u + 1 = 0$

$2 u + 7 = 0$

Langkah 9

Atur $2 u + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Atur $2 u + 1$ sama dengan $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Langkah 9.2

Selesaikan $2 u + 1 = 0$ untuk $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 u = - 1$

Langkah 9.2.2

Bagi setiap suku pada $2 u = - 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 u = - 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 9.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 9.2.2.2.1.2

Bagilah $u$ dengan $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Langkah 9.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$u = - \frac{1}{2}$

Langkah 10

Atur $2 u + 7$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Atur $2 u + 7$ sama dengan $0$ .

$2 u + 7 = 0$

Langkah 10.2

Selesaikan $2 u + 7 = 0$ untuk $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Kurangkan $7$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 u = - 7$

Langkah 10.2.2

Bagi setiap suku pada $2 u = - 7$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 u = - 7$ dengan $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 7}{2}$

Langkah 10.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 7}{2}$

Langkah 10.2.2.2.1.2

Bagilah $u$ dengan $1$ .

$u = \frac{- 7}{2}$

Langkah 10.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$u = - \frac{7}{2}$

Langkah 11

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(2 u + 1) (2 u + 7) = 0$ benar.

$u = - \frac{1}{2}, - \frac{7}{2}$

Langkah 12

Substitusikan $\sin (x)$ untuk $u$ .

$\sin (x) = - \frac{1}{2}, - \frac{7}{2}$

Langkah 13

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $x$ .

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - \frac{7}{2}$

Langkah 14

Selesaikan $x$ dalam $\sin (x) = - \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Langkah 14.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (- \frac{1}{2})$ adalah $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Langkah 14.3

Fungsi sinus negatif pada kuadran ketiga dan keempat. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi penyelesaian dari $2 π$ , untuk mencari sudut acuan. Selanjutnya, tambahkan sudut acuan ini ke $π$ untuk mencari penyelesaian pada kuadran ketiga.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Langkah 14.4

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Langkah 14.4.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{7 π}{6}$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Langkah 14.5

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 14.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 14.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 14.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 14.6

Tambahkan $2 π$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.6.1

Tambahkan $2 π$ ke $- \frac{π}{6}$ untuk menentukan sudut positif.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Langkah 14.6.2

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 14.6.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.6.3.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 14.6.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Langkah 14.6.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.6.4.1

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Langkah 14.6.4.2

Kurangi $π$ dengan $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Langkah 14.6.5

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$x = \frac{11 π}{6}$

Langkah 14.7

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 15

Selesaikan $x$ dalam $\sin (x) = - \frac{7}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Jangkauan sinus adalah $- 1 \leq y \leq 1$ . Karena $- \frac{7}{2}$ tidak berada dalam jangkauan ini, maka tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 16

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$