Trigonometri Contoh

$4 y^{2} - 8 y - 25 x^{2} + 100 x = 196$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari hiperbola.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan kuadrat dari $4 y^{2} - 8 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 4$

$b = - 8$

$c = 0$

Langkah 1.1.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.1.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.1.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 8$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.1.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (4)}$

Langkah 1.1.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.1.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 4}{4}$

Langkah 1.1.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4}$

Langkah 1.1.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)}$

Langkah 1.1.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1}$

Langkah 1.1.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 1}{1}$

Langkah 1.1.3.2.2.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$d = - 1$

Langkah 1.1.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Langkah 1.1.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1.1

Naikkan $- 8$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Langkah 1.1.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Langkah 1.1.4.2.1.3

Bagilah $64$ dengan $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Langkah 1.1.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$e = 0 - 4$

Langkah 1.1.4.2.2

Kurangi $4$ dengan $0$ .

$e = - 4$

Langkah 1.1.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 4$

Langkah 1.2

Substitusikan $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ untuk $4 y^{2} - 8 y$ dalam persamaan $4 y^{2} - 8 y - 25 x^{2} + 100 x = 196$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 4 - 25 x^{2} + 100 x = 196$

Langkah 1.3

Pindahkan $- 4$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $4$ ke kedua sisinya.

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 x^{2} + 100 x = 196 + 4$

Langkah 1.4

Selesaikan kuadrat dari $- 25 x^{2} + 100 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = - 25$

$b = 100$

$c = 0$

Langkah 1.4.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.4.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{100}{2 \cdot - 25}$

Langkah 1.4.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $100$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $100$ .

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot - 25}$

Langkah 1.4.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot - 25$ .

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 (- 25)}$

Langkah 1.4.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot - 25}$

Langkah 1.4.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{50}{- 25}$

Langkah 1.4.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $50$ dan $- 25$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.2.2.1

Faktorkan $25$ dari $50$ .

$d = \frac{25 (2)}{- 25}$

Langkah 1.4.3.2.2.2

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Langkah 1.4.3.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$d = - 2$

Langkah 1.4.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{100^{2}}{4 \cdot - 25}$

Langkah 1.4.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.4.2.1.1

Naikkan $100$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot - 25}$

Langkah 1.4.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{- 100}$

Langkah 1.4.4.2.1.3

Bagilah $10000$ dengan $- 100$ .

$e = 0 - - 100$

Langkah 1.4.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 100$ .

$e = 0 + 100$

Langkah 1.4.4.2.2

Tambahkan $0$ dan $100$ .

$e = 100$

Langkah 1.4.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$ .

$- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$

Langkah 1.5

Substitusikan $- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$ untuk $- 25 x^{2} + 100 x$ dalam persamaan $4 y^{2} - 8 y - 25 x^{2} + 100 x = 196$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} + 100 = 196 + 4$

Langkah 1.6

Pindahkan $100$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $100$ ke kedua sisinya.

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 196 + 4 - 100$

Langkah 1.7

Sederhanakan $196 + 4 - 100$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Tambahkan $196$ dan $4$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 200 - 100$

Langkah 1.7.2

Kurangi $100$ dengan $200$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 100$

Langkah 1.8

Bagi setiap suku dengan $100$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$\frac{4 {(y - 1)}^{2}}{100} - \frac{25 {(x - 2)}^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

Langkah 1.9

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{{(y - 1)}^{2}}{25} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari hiperbola. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan asimtot dari hiperbola.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari hiperbola ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $h$ mewakili x-offset dari titik asal, $k$ mewakili y-offset dari titik asal, $a$ .

$a = 5$

$b = 2$

$k = 1$

$h = 2$

Langkah 4

Asimtot-asimtotnya mengikuti bentuk $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ karena hiperbola ini membuka ke atas dan ke bawah.

$y = \pm \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$

Langkah 5

Sederhanakan untuk menentukan asimtot pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$

Langkah 5.2

Sederhanakan $\frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y = \frac{5}{2} \cdot (x - 2) + 1$

Langkah 5.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{5}{2} x + \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

Langkah 5.2.1.3

Gabungkan $\frac{5}{2}$ dan $x$ .

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

Langkah 5.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot (2 (- 1)) + 1$

Langkah 5.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 1$

Langkah 5.2.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{5 x}{2} + 5 \cdot - 1 + 1$

Langkah 5.2.1.5

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{5 x}{2} - 5 + 1$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $- 5$ dan $1$ .

$y = \frac{5 x}{2} - 4$

Langkah 6

Sederhanakan untuk menentukan asimtot kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$

Langkah 6.2

Sederhanakan $- \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y = - \frac{5}{2} \cdot (x - 2) + 1$

Langkah 6.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y = - \frac{5}{2} x - \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

Langkah 6.2.1.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{5}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} - \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

Langkah 6.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{5}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot - 2 + 1$

Langkah 6.2.1.4.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot (2 (- 1)) + 1$

Langkah 6.2.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 1$

Langkah 6.2.1.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} - 5 \cdot - 1 + 1$

Langkah 6.2.1.5

Kalikan $- 5$ dengan $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + 5 + 1$

Langkah 6.2.1.6

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $x$ .

$y = - \frac{5 x}{2} + 5 + 1$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $5$ dan $1$ .

$y = - \frac{5 x}{2} + 6$

Langkah 7

Hiperbola ini memiliki dua asimtot.

$y = \frac{5 x}{2} - 4, y = - \frac{5 x}{2} + 6$

Langkah 8

Asimtotnya adalah $y = \frac{5 x}{2} - 4$ dan $y = - \frac{5 x}{2} + 6$ .

Asimtot: $y = \frac{5 x}{2} - 4, y = - \frac{5 x}{2} + 6$

Langkah 9