Trigonometri Contoh

$r^{2} = - 4 \cos (2 x)$

Langkah 1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$r = \pm \sqrt{- 4 \cos (2 x)}$

Langkah 2

Sederhanakan $\pm \sqrt{- 4 \cos (2 x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali $- 4 \cos (2 x)$ sebagai $2^{2} \cdot (- 1 \cos (2 x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$r = \pm \sqrt{4 (- 1) \cos (2 x)}$

Langkah 2.1.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$r = \pm \sqrt{2^{2} \cdot - 1 \cos (2 x)}$

Langkah 2.1.3

Tambahkan tanda kurung.

$r = \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 \cos (2 x))}$

Langkah 2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$r = \pm 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

Langkah 3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

Langkah 3.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

Langkah 3.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

Langkah 4

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{- 1 \cos (2 x)}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$- 1 \cos (2 x) \geq 0$

Langkah 5

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi setiap suku pada $- 1 \cos (2 x) \geq 0$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Bagi setiap suku dalam $- 1 \cos (2 x) \geq 0$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- 1 \cos (2 x)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Langkah 5.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\cos (2 x)}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Langkah 5.1.2.2

Bagilah $\cos (2 x)$ dengan $1$ .

$\cos (2 x) \leq \frac{0}{- 1}$

Langkah 5.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Bagilah $0$ dengan $- 1$ .

$\cos (2 x) \leq 0$

Langkah 5.2

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$2 x \leq \arccos (0)$

Langkah 5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$2 x \leq \frac{π}{2}$

Langkah 5.4

Bagi setiap suku pada $2 x \leq \frac{π}{2}$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Bagilah setiap suku di $2 x \leq \frac{π}{2}$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Langkah 5.4.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x \leq \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 5.4.3.2

Kalikan $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.2.1

Kalikan $\frac{π}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$x \leq \frac{π}{2 \cdot 2}$

Langkah 5.4.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x \leq \frac{π}{4}$

Langkah 5.5

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 5.6

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 5.6.1.2

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 5.6.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 5.6.1.4

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Langkah 5.6.1.5

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 5.6.2

Bagi setiap suku pada $2 x = \frac{3 π}{2}$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = \frac{3 π}{2}$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Langkah 5.6.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Langkah 5.6.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Langkah 5.6.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 5.6.2.3.2

Kalikan $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.3.2.1

Kalikan $\frac{3 π}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Langkah 5.6.2.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Langkah 5.7

Tentukan periode dari $\cos (2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 5.7.2

Ganti $b$ dengan $2$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Langkah 5.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $2$ adalah $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Langkah 5.7.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 π}{2}$

Langkah 5.7.4.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 5.8

Periode dari fungsi $\cos (2 x)$ adalah $π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 5.9

Gabungkan jawabannya.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 5.10

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$

Langkah 5.11

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.11.1

Uji nilai pada interval $\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.11.1.1

Pilih nilai pada interval $\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 2$

Langkah 5.11.1.2

Ganti $x$ dengan $2$ pada pertidaksamaan asal.

$- 1 \cos (2 (2)) \geq 0$

Langkah 5.11.1.3

Sisi kiri $0.65364362$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 5.11.2

Uji nilai pada interval $\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.11.2.1

Pilih nilai pada interval $\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 3$

Langkah 5.11.2.2

Ganti $x$ dengan $3$ pada pertidaksamaan asal.

$- 1 \cos (2 (3)) \geq 0$

Langkah 5.11.2.3

Sisi kiri $- 0.96017028$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 5.11.3

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ Benar

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ Salah

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ Benar

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ Salah

Langkah 5.12

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$\frac{π}{4} + π n \leq x \leq \frac{3 π}{4} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 6

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x = \frac{π}{4} + π n, x = \frac{3 π}{4} + π n}$

Langkah 7