Trigonometri Contoh

$\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (x)} < 1 + \sqrt{3}$

Langkah 1

Substitusikan $u$ untuk $\tan (x)$ .

$(u) + \frac{\sqrt{3}}{u} < 1 + \sqrt{3}$

Langkah 2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$1, u, 1, 1$

Langkah 2.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$u$

Langkah 3

Kalikan setiap suku pada $u + \frac{\sqrt{3}}{u} < 1 + \sqrt{3}$ dengan $u$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dalam $u + \frac{\sqrt{3}}{u} < 1 + \sqrt{3}$ dengan $u$ .

$u \cdot u + \frac{\sqrt{3}}{u} u < 1 u + \sqrt{3} u$

Langkah 3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Kalikan $u$ dengan $u$ .

$u^{2} + \frac{\sqrt{3}}{u} u < 1 u + \sqrt{3} u$

Langkah 3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u^{2} + \frac{\sqrt{3}}{u} u < 1 u + \sqrt{3} u$

Langkah 3.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u^{2} + \sqrt{3} < 1 u + \sqrt{3} u$

Langkah 3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan $u$ dengan $1$ .

$u^{2} + \sqrt{3} < u + \sqrt{3} u$

Langkah 4

Selesaikan pertidaksamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali sehingga $u$ di sisi kiri pertidaksamaan.

$u + \sqrt{3} u > u^{2} + \sqrt{3}$

Langkah 4.2

Kurangkan $u^{2}$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$u + \sqrt{3} u - u^{2} > \sqrt{3}$

Langkah 4.3

Konversikan pertidaksamaan ke persamaan.

$u + \sqrt{3} u - u^{2} = \sqrt{3}$

Langkah 4.4

Kurangkan $\sqrt{3}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$u + \sqrt{3} u - u^{2} - \sqrt{3} = 0$

Langkah 4.5

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Susun kembali suku-suku.

$- u^{2} + u + u \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$

Langkah 4.5.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$- u^{2} + u + u \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$

Langkah 4.5.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$u (- u + 1) - \sqrt{3} (- u + 1) = 0$

Langkah 4.5.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $- u + 1$ .

$(- u + 1) (u - \sqrt{3}) = 0$

Langkah 4.6

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$- u + 1 = 0$

$u - \sqrt{3} = 0$

Langkah 4.7

Atur $- u + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Atur $- u + 1$ sama dengan $0$ .

$- u + 1 = 0$

Langkah 4.7.2

Selesaikan $- u + 1 = 0$ untuk $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- u = - 1$

Langkah 4.7.2.2

Bagi setiap suku pada $- u = - 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- u = - 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- u}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 4.7.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{u}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 4.7.2.2.2.2

Bagilah $u$ dengan $1$ .

$u = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 4.7.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.2.2.3.1

Bagilah $- 1$ dengan $- 1$ .

$u = 1$

Langkah 4.8

Atur $u - \sqrt{3}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.1

Atur $u - \sqrt{3}$ sama dengan $0$ .

$u - \sqrt{3} = 0$

Langkah 4.8.2

Tambahkan $\sqrt{3}$ ke kedua sisi persamaan.

$u = \sqrt{3}$

Langkah 4.9

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(- u + 1) (u - \sqrt{3}) = 0$ benar.

$u = 1, \sqrt{3}$

Langkah 5

Substitusikan $\tan (x)$ untuk $u$ .

$\tan (x) = 1, \sqrt{3}$

Langkah 6

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $x$ .

$\tan (x) = 1$

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Langkah 7

Selesaikan $x$ dalam $\tan (x) = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ambil tangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam tangen.

$x = \arctan (1)$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Nilai eksak dari $\arctan (1)$ adalah $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Langkah 7.3

Fungsi tangen positif di kuadran pertama dan ketiga. Untuk mencari penyelesaian kedua, tambahkan sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaiannya di kuadran keempat.

$x = π + \frac{π}{4}$

Langkah 7.4

Sederhanakan $π + \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Langkah 7.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Langkah 7.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Langkah 7.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.3.1

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Langkah 7.4.3.2

Tambahkan $4 π$ dan $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Langkah 7.5

Tentukan periode dari $\tan (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Langkah 7.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Langkah 7.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{π}{1}$

Langkah 7.5.4

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 7.6

Periode dari fungsi $\tan (x)$ adalah $π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 8

Selesaikan $x$ dalam $\tan (x) = \sqrt{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ambil tangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam tangen.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Nilai eksak dari $\arctan (\sqrt{3})$ adalah $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Langkah 8.3

Fungsi tangen positif di kuadran pertama dan ketiga. Untuk mencari penyelesaian kedua, tambahkan sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaiannya di kuadran keempat.

$x = π + \frac{π}{3}$

Langkah 8.4

Sederhanakan $π + \frac{π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Langkah 8.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Langkah 8.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Langkah 8.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.3.1

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Langkah 8.4.3.2

Tambahkan $3 π$ dan $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Langkah 8.5

Tentukan periode dari $\tan (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Langkah 8.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Langkah 8.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{π}{1}$

Langkah 8.5.4

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 8.6

Periode dari fungsi $\tan (x)$ adalah $π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 9

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 10

Gabungkan penyelesaiannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Gabungkan $\frac{π}{4} + π n$ dan $\frac{5 π}{4} + π n$ menjadi $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 10.2

Gabungkan $\frac{π}{3} + π n$ dan $\frac{4 π}{3} + π n$ menjadi $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{π}{3} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 11

Tentukan domain dari $\tan (x) + \sqrt{3} \cot (x) - 1 - \sqrt{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Atur argumen dalam $\tan (x)$ agar sama dengan $\frac{π}{2} + π n$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 11.2

Atur argumen dalam $\cot (x)$ agar sama dengan $π n$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x = π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 11.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n, x \neq π n}$ $n$ , untuk bilangan bulat apa pun $n$

Langkah 12

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$

Langkah 13

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Uji nilai pada interval $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Pilih nilai pada interval $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 1$

Langkah 13.1.2

Ganti $x$ dengan $1$ pada pertidaksamaan asal.

$\tan (1) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (1)} < 1 + \sqrt{3}$

Langkah 13.1.3

Sisi kiri $2.66954475$ lebih kecil dari sisi kanan $2.7320508$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 13.2

Uji nilai pada interval $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Pilih nilai pada interval $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 2$

Langkah 13.2.2

Ganti $x$ dengan $2$ pada pertidaksamaan asal.

$\tan (2) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (2)} < 1 + \sqrt{3}$

Langkah 13.2.3

Sisi kiri $- 2.97772599$ lebih kecil dari sisi kanan $2.7320508$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 13.3

Uji nilai pada interval $\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.1

Pilih nilai pada interval $\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 4$

Langkah 13.3.2

Ganti $x$ dengan $4$ pada pertidaksamaan asal.

$\tan (4) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (4)} < 1 + \sqrt{3}$

Langkah 13.3.3

Sisi kiri $2.65377824$ lebih kecil dari sisi kanan $2.7320508$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 13.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ Benar

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ Benar

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ Benar

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ Benar

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ Benar

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ Benar

Langkah 14

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$\frac{π}{4} + π n < x < \frac{π}{3} + π n$ or $\frac{π}{3} + π n < x < \frac{5 π}{4} + π n$ or $\frac{5 π}{4} + π n < x < \frac{4 π}{3} + π n$ , for any integer $n$

Langkah 15

Gabungkan interval-intervalnya.

$\frac{π}{3} + π n < x < \frac{5 π}{4} + π n or \frac{π}{4} + π n < x < \frac{π}{3} + π n or \frac{5 π}{4} + π n < x < \frac{4 π}{3} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 16