Trigonometri Contoh

$2 \sin^{2} (x) - 6 \cos (x) + 1 = 0$

Langkah 1

Ganti $2 \sin^{2} (x)$ dengan $2 (1 - \cos^{2} (x))$ berdasarkan identitas $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) + 1 = 0$

Langkah 2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Terapkan sifat distributif.

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) + 1 = 0$

Langkah 2.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + 2 (- \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) + 1 = 0$

Langkah 2.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$2 - 2 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) + 1 = 0$

Langkah 3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$- 2 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) + 3 = 0$

Langkah 4

Substitusikan $u$ untuk $\cos (x)$ .

$- 2 {(u)}^{2} - 6 u + 3 = 0$

Langkah 5

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 6

Substitusikan nilai-nilai $a = - 2$ , $b = - 6$ , dan $c = 3$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $u$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot 3)}}{2 \cdot - 2}$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Naikkan $- 6$ menjadi pangkat $2$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 2 \cdot 3}}{2 \cdot - 2}$

Langkah 7.1.2

Kalikan $- 4 \cdot - 2 \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $- 2$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 \cdot 3}}{2 \cdot - 2}$

Langkah 7.1.2.2

Kalikan $8$ dengan $3$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 24}}{2 \cdot - 2}$

Langkah 7.1.3

Tambahkan $36$ dan $24$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot - 2}$

Langkah 7.1.4

Tulis kembali $60$ sebagai $2^{2} \cdot 15$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $60$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot - 2}$

Langkah 7.1.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot - 2}$

Langkah 7.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$u = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot - 2}$

Langkah 7.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$u = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{- 4}$

Langkah 7.3

Sederhanakan $\frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{- 4}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{15}}{- 2}$

Langkah 7.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{15}}{2}$

Langkah 8

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$u = - \frac{3 + \sqrt{15}}{2}, - \frac{3 - \sqrt{15}}{2}$

Langkah 9

Substitusikan $\cos (x)$ untuk $u$ .

$\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{15}}{2}, - \frac{3 - \sqrt{15}}{2}$

Langkah 10

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $x$ .

$\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{15}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{15}}{2}$

Langkah 11

Selesaikan $x$ dalam $\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{15}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Jangkauan kosinusnya adalah $- 1 \leq y \leq 1$ . Karena $- \frac{3 + \sqrt{15}}{2}$ tidak berada pada jangkauan ini, maka tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 12

Selesaikan $x$ dalam $\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{15}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (- \frac{3 - \sqrt{15}}{2})$

Langkah 12.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Evaluasi $\arccos (- \frac{3 - \sqrt{15}}{2})$ .

$x = 1.11910076$

Langkah 12.3

Fungsi kosinus negatif di kuadran kedua dan ketiga. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menghitung penyelesaian di kuadran ketiga.

$x = 2 (3.14159265) - 1.11910076$

Langkah 12.4

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.1

Hilangkan tanda kurung.

$x = 2 (3.14159265) - 1.11910076$

Langkah 12.4.2

Sederhanakan $2 (3.14159265) - 1.11910076$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.2.1

Kalikan $2$ dengan $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.11910076$

Langkah 12.4.2.2

Kurangi $1.11910076$ dengan $6.2831853$ .

$x = 5.16408454$

Langkah 12.5

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 12.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 12.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 12.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 12.6

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = 1.11910076 + 2 π n, 5.16408454 + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 13

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$x = 1.11910076 + 2 π n, 5.16408454 + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$